Echilibrul rigidului liber

ECHILIBRUL RIGIDULUI LIBER

Rigidul liber este un corp care poate ocupa orice pozitie in spatiu, pozitia acestuia depinzand exclusiv, de sistemul de forte care actioneaza asupra lui.

Conditia necesara si suficienta pentru ca un rigid liber sa fie in echilibru este ca torsorul sistemului de forte care actioneaza asupra acestuia sa fie nul in orice punct. De regula, punctul fata de care se calculeaza torsorul sistemului de forte este originea O a sistemului de axe considerat.

(4.1)

Tinand seama ca:

(4.2)

conditiile (4.1) devin:

(4.3)

In cazul rigidului actionat de un sistem de forte spatial (rigid in spatiu), ecuatiile scalare de echilibru sunt:

(4.4)

In cazul rigidului actionat de un sistem de forte coplanar (rigid in plan), ecuatiile scalare de echilibru devin:

(4.5)

Problemele echilibrului rigidului liber pot fi grupate in doua categorii:

probleme in care se cunosc fortele care actioneaza asupra rigidului si se cere determinarea pozitiei lui de echilibru;

probleme in care se cunoaste pozitia de echilibru si se cer fortele care actioneaza asupra rigidului.

Aceste probleme pot fi rezolvate in general, daca ele comporta determinarea a cel mult sase necunoscute scalare, in cazul rigidului actionat de un sistem de forte spatiale sau cel mult trei necunoscute scalare, in cazul rigidului actionat de un sistem de forte coplanare.

In cazul problemelor din prima categorie, pozitia de echilibru a rigidului poate fi determinata. Aceasta pozitie este definita de sase parametri scalari independenti, pentru rigidul in spatiu si de trei parametri scalari independenti, pentru rigidul in plan care se numesc grade de libertate.

Pentru stabilirea pozitiei unui rigid in spatiu este necesar sa se cunoasca coordonatele a trei puncte necoliniare: , si . Aceste coordonate nu sunt independente deoarece distantele d₁, d₂, d₃, dintre puncte raman constante, corpul fiind nedeformabil.

(4.6)

Intrucat intre cei noua prametri scalari, x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂, x₃, y₃, z₃, pot fi scrise trei relatii de forma (4.6), rezulta ca doar sase sunt independenti. In concluzie, pozitia unui rigid liber in spatiu este definita de sase parametri independenti. Rigidul liber in spatiu are sase grade de librtate.

Practic, numarul gradelor de libertate este dat de numarul deplasarilor (translatii si rotatii) independente in raport cu axele de coordonate (fig.4.1)

Numarul gradelor de libertate pentru un rigid liber in spatiu poate fi dat si de urmatorii sase parametri scalari independenti (fig. 4.2):

coordonatele x₀, y₀, z₀, ale originii O, a sistemului de axe Oxyz, solidar cu rigidul, in raport cu triedrul fix O₁x₁y₁z₁;

unghiurile Euler: y - unghiul de precesie (unghiul dintre axa Ox', paralela cu axa O₁x₁ si linia nodurilor ON - intersectie a planelor Ox'y' si Oxy), j - unghiul de rotatie proprie (unghiul dintre linia nodurilor ON si axa Ox) si q - unghiul de nutatie (unghiul dintre axa Oz', paralela cu O₁z₁ si axa Oz).

In cazul rigidului in plan (considerand rigidul in planul Oxy) este necesar sa se cunoasca pozitia a doua puncte  si . Scriind distanta d, dintre cele doua puncte care este constanta, obtinem:

(4.7)

Rezulta ca din cei patru parametri scalari, x₁, y₁, x₂, y₂, care definesc pozitia rigidului in plan, doar trei sunt independenti. Rigidul liber in plan are trei grade de libertate.

Problemele din a doua categorie pot fi rezolvate, daca numarul necunoscutelor scalare, necesare pentru determinarea fortelor este de cel mult sase, pentru rigidul in spatiu sau de cel mult trei, pentru rigidul in plan.