Miscarea oscilatorie armonica

Miscarea oscilatorie armonica

Ecuatia de miscare a sistemului aflat sub actiunea fortei elastice este, in conformitate cu principiul fundamental al dinamicii:

,                                   (4)

sau

, (5)

unde s-a notat . Aceasta este o ecuatie diferentiala de ordinul doi, liniara, omogena, cu coeficienti constanti . Ea admite o solutie analitica exacta . Pentru gasirea ei se incearca intai o solutia de forma:

(6)

unde l reprezinta o constanta ce urmeaza a fi determinata . Daca relatia (6) este intr-adevar o solutie a ecuatiei (5), atunci ea trebuie sa verifice aceasta ecuatie . Impunand aceasta conditie se obtine urmatoarea ecuatie caracteristica a ecuatiei (5):

(7)

ale carei solutii, distincte, sunt

(8)

In acest caz, solutia generala se scrie sub forma unei combinatii liniare a celor doua solutii adica:

(9)

unde constantele si sunt constante arbitrare de integrare, in general complexe . Pentru ca elongatia miscarii oscilatorii sa fie o marime reala ele trebuie sa verifice relatia , unde cu asterisc s-a notat conjugata complexa a constantei . In continuare se foloseste formula lui Euler pentru trecerea de la functiile exponential-complexe la functiile trigonometrice:

(10)

si se obtine pentru solutia (9) urmatoarea expresie:

(11)

Se noteaza in continuare:

, (12)

asfel incat solutia (11) capata forma urmatoare:

.

In plus, daca se mai noteaza cu

(13)

si cu

(14)

atunci solutia ecuatiei diferentiale (5) capata forma finala:

(15)

unde x(t) reprezinta departarea la momentul t  a sistemului fata de pozitia de echilibru si se numeste elongatie, A se numste amplitudinea miscarii oscilatorii si reprezinta valoarea maxima pe care o poate atinge elongatia, se numeste faza miscarii oscilatorii, este faza initiala iar este pulsatia miscarii .

Uneori este convenabil sa se reprezinte elongatia unei miscari oscilatorii armonice prin expresia complexa

convenind ca partea imaginara a acestei expresii sa reprezinte marimea fizica considerata . In cazul in care solutia ecuatiei diferentiale a miscarii (5) este data prin intermediul functiei trigonometrice cosinus, partea reala a expresiei de mai sus va reprezenta marimea fizica considerata .

Faptul ca pulsatia este constanta si independenta de conditiile initiale ale miscarii este specific oscilatiilor armonice, adica a micilor oscilatii efectuate de un sistem in jurul pozitiei sale de echilibru stabil .

Energia totala a sistemului la un moment dat este suma dintre energia cinetica si potentiala a sistemului la acel moment:

(16)

Desi valoarea ambelor energii depinde de timp suma lor este o constanta . Energia totala a oscilatorului armonic este constanta in timp, este direct proportionala cu patratul amplitudinii si este egala cu:

(17)

Despre acest oscilator se spune ca reprezinta un sistem conservativ . Pentru marimile dependente de timp este util uneori introducerea unei valori medii temporale definita dupa cum urmeaza:

(18)

unde medierea se face pe intervalul de timp 0,T . In baza acestei definitii, valorile medii temporale ale energiei cinetice respectiv potentiale, calculate pentru o perioada, sunt:   

(19) (20)

unde si reprezinta perioada micilor oscilatii . Asa cum se observa, ele sunt egale intre ele iar suma lor este egala cu energia totala a oscilatorului:

(21)

O particula de masa m se gaseste intr-un camp potential unidimensional . Energia potentiala a particulei functie de coordonata este , unde si sunt constante pozitive . a) Sa se reprezinte grafic energia potentiala a particulei si sa se arate ca energia potentiala admite cel putin o valoare minima si ca deci particula poate avea cel putin o pozitie de echilibru stabil; b) Sa se gaseasca perioada micilor oscilatii efectuate de particula in jurul acestei pozitii .

Sa se rezolve aceeasi problema pentru cazul in care energia potentiala are forma , cu constante pozitive .