Metoda descompunerii - metoda de previziune, previziunea seriilor cronologice cu sezonalitate

1. Metoda descompunerii - metoda de previziune

Cunoasterea componentelor unei serii cronologice este posibila prin utilizarea metodei descompunerii. Aceasta metoda este utila pentru previziunea unei serii cronologice. Dupa identificarea fiecarei componente, se previzioneaza separat fiecare dintre ele, si apoi se compun aceste previziuni dupa schema de combinare utilizata la descompunere.

Etapele rezolvarii simplificate a unei probleme de previziune a unei serii cronologice cu sezonalitate sunt urmatoarele: reprezentare grafica, calculul trendului (tendinta), calculul indicilor/componentelor de sezonalitate, stabilirea previziunilor desezonalizate (prin prelungirea trendului pentru timpii urmatori), corectarea previziunilor cu indicii/componentele de sezonalitate prin inmultirea/adunarea acestora la valorile viitoare ale trendului, dupa cum modelul este multiplicativ sau aditiv. Intr-o abordare mai putin empirica decat cea descrisa, dupa ce reprezentarea grafica conduce la alegerea tipului de model: aditiv, multiplicativ sau mixt, se stabileste daca seria are sezonlitate sau nu. Se stabileste componenta sezonalitatii, prin metoda mediilor mobile, calculandu-se fie indicii de sezonalitate, fie componentele sezoniere.

Se desezonalizeaza seria cronologica prin impartirea valorilor observate la indicii de sezonalitate sau prin scaderea componentelor sezoniere din valorile empirice ale seriei.

Se stabileste trendul seriei pornind de la datele desezonalizate.

Se ajusteaza seria prin compunerea trendului cu sezonalitatea, fie prin operatia de inmultire, fie prin cea de scadere, in functie de modul ales de combinare multiplicativ/aditiv.

Pentru previziune se prelungeste trendul pentru orizontul de previziune dorit (numarul de perioade viitoare pentru care se face previziunea variabilei analizate) si se corecteaza cu sezonalitatea identificata pentru fiecare sezon.

Daca seria are si ciclicitate, atunci dupa identificarea sezonalitatii si operatia de desezonalizare a seriei, se identifica indicii sau componentele de ciclicitate, se deciclizeaza seria prin impartire sau scadere si se continua cu aflarea trendului din datele deciclizate.

Metoda descompunerii se continua cu operatia de compunere, care consta in combinarea celor trei componente: trend, sezonalitate si ciclicitate. Pentru previziune se prelungeste trendul, care se corecteaza cu sezonalitatea si ciclicitatea, pentru orizontul de previziune dorit, respectand regula de compunere utilizata la ajustarea seriei.

Intr-o abordare mai complexa se face o analiza a distributiei erorilor, de care sa se tina seama in stabilirea intervalelor de incredere ale valorilor previzionate punctuale obtinute.

2. Previziunea seriilor cronologice cu sezonalitate

Pentru exemplificarea metodei descompunerii se recurge la un exemplu practic al unei serii cronologice cu o singura componenta oscilatorie: sezonalitatea.

Se cunosc date referitoare la vanzarile trimestriale ale unui produs "A", exprimate in mii bucati, pe o perioada de sase ani, in Tabelul 1.1. Se doreste previziunea pentru anul urmator folosind metoda descompunerii.

(mii bucati)

Tabelul 1.1. Vanzarile trimestriale ale produsului "A", in perioada 1990-1995

Figura 1.4. Evolutia vanzarilor trimestriale ale produsului "A"

Pentru a putea reprezenta grafic evolutia vanzarilor produsului "A", termenii seriei cronologice, se stabilesc pe verticala, in Microsofrt Excel, precum in Tabelul 1.2. Graficul evolutiei vanzarilor este prezentat in Figura 1.4.

Graficul indica existenta unei sezonalitati, in sensul ca vanzarile in primul trimestru prezinta mereu un varf, care scad accentuat in trimestrul 2, in fiecare an si o scadere mai mica in trimestrul 3, ca apoi sa creasca usor in trimestrul 4.

Primul pas in aflarea componentei sezoniere consta in ajustarea seriei trimestriale a vanzarilor prin metoda mediilor mobile. Obtinerea mediilor mobile de patru termeni (numarul de perioade intre doua oscilatii similare) se realizeaza in doua faze:

calculul mediilor mobile provizorii, mmp(4), care sunt medii alunecatoare de cate 4 termeni, care nu se pot centra in dreptul unei unitati de timp, datorita faptului ca ordinul mediilor mobile mm(k) este un numar par k=4;

calculul mediilor mobile definitive, centrate, mm(4), ca medii aritmetice simple a cate doua medii mobile provizorii succesive; se obtine o noua serie care ajusteaza seria initiala, netezindu-i asperitatile, al carei prim termen se pozitioneaza in dreptul trimestrului 3, astfel incat noua serie a mm(4) are 4 termeni mai putini: 2 la inceputul seriei si 2 la sfarsitul ei.

Calculele si rezultatele obtinute sunt prezentate in Tabelul 1.2, iar pe graficul din Figura 1.5 sunt reprezentate mediile mobile definitive, mm(4).

Tabelul 1.2. Calculele prin metoda descompunerii si previziunea

Figura 1.5. Vanzarile trimestriale observate si mediile mobile

Se alege modelul multiplicativ, conform caruia vanzarile observate sunt obtinute prin Y = T · S · E = Ŷ· E, unde Ŷ, reprezinta vanzarile ajustate (teoretice) obtinute prin corectarea trendului, T, cu indicii de sezonalitate.

Urmatoarea etapa in identificarea sezonalitatii consta in calculul unor coeficienti de abatere ai vanzarilor fata de vanzarile ajustate prin medii mobile, notati r_i. Acesti coeficienti se calculeaza prin raportare: , pentru trimestrele pentru care exista mm_i corespunzatoare valorilor observate y_i.

Pentru fiecare sezon se calculeaza o medie a acestor coeficienti de abatere obtinandu-se coeficienti medii de abatere pentru fiecare sezon, , j=1,k, unde k este numarul de sezoane (aici, k=4). Media acestor coeficienti medii pe sezoane (aici, trimestre), , reprezinta coeficientul mediu de abatere al unui sezon (indiferent care) din intreaga perioada. Pentru respectarea principiului conservarii ariilor, conform caruia .

Coeficientul mediu al fiecarui sezon se imparte la , obtinandu-se astfel indicii de sezonalitate: , a caror medie va fi exact 1. Suma indicilor de sezonalitate este egala cu numarul sezoanelor, k: .

In Tabelul 1.2, se afla coeficientii de abatere, precum si coeficientii medii pe sezoane, calculati si dispusi pe coloana, pentru facilitatea oferita calculelor urmatoare. Cele patru valori pentru indicii de sezonalitate trimestriali se repeta de sase ori, pentru fiecare an, cate un set de 4 indici de sezonalitate.

Calculul indicilor de sezonalitate se poate face si prin plasarea lor corespunzatoare intr-un tabel, pe ani si pe trimestre, si calculul coeficientilor , si a Isez_j, ca in Tabelul 1.3.

Este evident ca se obtin aceleasi rezultate ca in Tabelul 1.2. Indicii de sezonalitate se pot exprima si in procente si atunci suma lor este k·100. Se observa in trimestrul 1 o crestere de aproximativ 10% peste nivelul mediu al seriei vanzarilor, in trimestrul 2, o scadere de aproximativ 6%, in fiecare trimestru 3, o scadere de aproximativ tot 6% si in fiecare trimestru 4, o crestere usoara de 1.5%.

Tabelul 1.3. Calculul coeficientilor medii pe sezoane si al indicilor de sezonalitate

Identificarea componentei sezoniere, conduce la posibilitatea desezonalizarii seriei vanzarilor. Operatia de inlaturare a influentei sezoniere se numeste desezonalizare. La modelul multiplicativ, desezonalizarea se face prin impartirea valorilor observate la indicii de sezonalitate: , unde DD reprezinta datele desezonalizate, care contin trendul si erorile. DD sunt calculate in Tabelul 1.2 si reprezentate in Figura 1.6.

Figura 1.6. Vanzarile trimestriale observate si desezonalizate

Pe baza datelor desezonalizate se identifica in continuare componenta trend, T, cu ajutorul unei variabile t, care identifica perioadele de timp, trimestrele.

Dreapta de regresie este , si valorile teoretice se afla in Tabelul 1.2 si sunt reprezentate pe grafic in Figura 1.7.

Metoda descompunerii a condus la identificarea componentelor trend si sezonalitate. Operatia inversa de compunerea acestor elemente, prin operatia de inmultire, are ca rezultat obtinerea valorilor ajustate: Ŷ = T ·S, care se afla in Tabelul 1.2 si pe graficul din Figura 1.8.

Figura 1.7. Vanzarile trimestriale observate, datele desezonalizate si trendul

Previziunea pentru urmatorul an, consta in prelungirea variabilei timp t_i corespunzator pentru inca 4 trimestre si a trendului, adaugarea unui set de 4 indici de sezonalitate, corespunzator fiecarui trimestru (presupune completarea seriei ) si prelungirea formulei pentru calculul valorilor ajustate, obtinandu-se astfel valorile viitoare ca previziuni punctuale. In Tabelul 1.2 se regasesc previziunile, care sunt reprezentate si in Figura 1.9.

Figura 1.8. Vanzarile trimestriale observate si ajustate

Pentru determinarea intervalului de incredere al previziunilor este necesara o analiza a distributiei erorilor, dupa identificarea lor in prealabil, prin: E = DD/T. In functie de aceasta distributie, presupunand ca se mentine constanta influenta factorilor reziduali (neinregistrati, altii decat timpul), se poate stabili cu o anumita probabilitate, intervalul de incredere al fiecarei previziuni.

Figura 1.9. Vanzarile observate, ajustate, trendul si previziunea

In cazul sezonalitatii aditive: Y = T + S + E = Ŷ+ E, elementele T si S se compun in mod aditiv. La identificarea sezonalitatii se tine seama de faptul ca nu mai exista coeficienti si indici de sezonalitate, ci abateri si componente sezoniere. Pentru depistarea sezonalitatii se incepe cu ajustarea serie prin metoda mediilor mobile de orinul 4, identic cazului multiplicativ. Se obtin abateri sezoniere, s_i ca diferenta intre valorile observate si cele ajustate aflate pe seria mediilor mobile: . Se calculeaza cate o abatere medie pentru fiecare sezon, , adunandu-le si impartind la 5 ani (de fiecare data lipseste un trimestru, astfel incat numarul anilor este mai mic cu 1). Media acestor abateri medii specifice fiecarui trimestru, ar trebui sa fie 0, iar suma lor 0. Pentru respectarea principiului conservarii ariilor, se obtin componentele sezoniere, S_j, scazand abaterea medie sezoniera a unui trimestru din intreaga perioada, din abaterea medie a fiecarui sezon: . Aceste componente sezoniere, identifica sezonalitatea. Suma lor trebuie sa fie 0. Se observa in Tabelul 1.4, valorea pozitiva mare a componentei sezoniere din trimestrul 1, care indica sezonalitate accentuata in acest trimestru; componente sezoniere de aproximativ aceeasi amplitudine si de semn negativ, in trimestrele 2 si 3, usor mai accentuata in 3 si o crestere mica in fiecare trimestru 4, fata de nivelul mediu al evolutiei vanzarilor.

Desezonalizarea seriei, consta operatia de scadere din vanzarile observate, a componentelor sezoniere: DD = Y - S = (T + S + E) - S = T + E. Pe baza datelor desezonalizate se calculeaza trendul liniar, folosind metoda regresiei.

Operatia de compunere a trendului si sezonalitatii prin operatia de adunare, conduce la obtinerea valorilor ajustate ale seriei vanzarilor. Prelungirea seriilor corespunzatoare sezonalitatii si trendului, sunt esentiale pentru obtinerea previziunilor punctuale. Daca se continua cu o analiza a erorilor, atunci acestea se calculeaza intai, prin: E = DD - T si apoi se stabileste distributia lor. Pe baza acestei distributii se pot forma intervalele de incredere ale previziunilor. Daca se modifica in acelasi fisier Excel, in care s-a lucrat pentru modelul multiplicativ, este bine sa se repecte regula, conform careia toate operatiile de impartire se transforma in operatii de scadere si toate inmultirile se transforma in adunari. Tabelul 1.4 contine toate calculele modificate, conform regulii enuntate, pentru modelul aditiv.

Tabelul 1.4. Aplicarea metodei descompunerii la un model aditiv

Graficele valorilor ajustate nu constituie un instrument concludent, care sa  recomande un anume model de combinare a elementelor componente ale seriei cronologice analizate. Alegerea intre cele doua tipuri de modele: aditiv sau multiplicativ se va face pe seama criteriului celor mai mici patrate: . In cazul modelului multiplicativ, suma patratelor erorilor este: 2004, iar pentru modelul aditiv, aceasta suma este: 1990. Diferenta este atat de mica, incat este dificil sa se faca alegerea celui mai bun model pe baza graficelor. Modelul aditiv este mai bun, prezentand cea mai mica valoare a criteriului celor mai mici patrate.