Propagarea perturbatiilor mici in gaze. Regimurile de curgere a gazelor, conul lui Mach

Sub notiunea de perturbatie mica, se intelege procesul de modificare locala a presiunii cu o amplitudine (dP) neglijabila de mica in comparatie cu presiunea totala din nucleul gazului (P) sau cand dP << P.

Viteza de propagare a perturbatiilor de presiune de intensitate mica (perturbatii mici) si reprezinta viteza sunetului sau viteza de propagare a undelor sonore printr-un mediu continuu.

Pentru a stabili corelatia existenta dintre viteza de propagare a sunetului (a perturbatiilor mici) si parametrii termodinamici ai gazului se considera modelul unui piston introdus intr-un tub cu aria sectiunii transversale A in care se gaseste un gaz in stare de repaus cu presiunea P si densitatea r (fig. 2.1).

Fig. 2.1. Shema propagarii perturbatiilor mici intr-un tub cilindric

La deplasarea brusca a pistonului cu diferenta de viteza dW, in interiorul tubului se produce o crestere a presiunii dP si a densitatii dr

In fata pistonului apare un strat comprimat de gaz, care incepe sa se deplaseze cu viteza de propagare a sunetului a. In intervalul de timp dt frontul A A al stratului comprimat

(fig. 2.1) se deplaseaza la distanta , ocupand pozitia A₁ A₁ si parcurgand un volum .

Masa de fluid neperturbat aflata initial in acest volum (A-A-A₁-A₁) va fi :

Acest volum este inlocuit de stratul perturbat cu lungimea si densitatea , avand masa:

(2.2)

Conform principiului conservarii masei egalam cele doua relatii (2.1) si (2.2) obtinand ecuatia

Dupa deschiderea parantezelor si neglijarea termenului , care este infinit de mic, rezulta ecuatia

,

unde a si W sunt marimi necunoscute.

Pentru determinarea lor vom aplica legea conservarii impulsului pentru cantitatea de gaz dm

,

sau     

, (2.4)

unde reprezinta forta, care actioneaza asupra gazului neperturbat din partea frontului undei acustice datorita diferentei de presiune dP in intervalul de timp dt.

Referat: Clasificarea constructiilor Referat: PROIECT ATESTAT Constructii-lucrari publice - instalatii de incalzire

Relatia (2.4) devine:        ,

sau (2.5)

Prin combinatia ecuatiilor (2.3.) si (2.5.) se obtine

, de unde ,

sau

. (2.6)

Din expresia transformarii adiabatice prin logaritmare rezulta :

iar prin derivare: , obtinandu-se astfel expresia

,

din care poate fi usor obtinuta ecuatia procesului adiabatic in forma diferentiala:

(2.7)

Substituind expresia (2.7) in relatia (2.6) rezulta formula pentru viteza de propagare a perturbatiilor mici sau viteza sunetului

, (2.8)

Utilizand acum ecuatia de stare a gazului perfect se obtine relatia pentru viteza sunetului exprimata prin temperatura T :

, (2.9)

Cum rezulta din formulele (2.8) si (2.9) viteza sunetului a variaza in functie de presiune,densitate sau de temperatura. De exemplu, la T=273 K viteza sunetului este egala cu 331,9 m/s pentru aer, 1332 m/s pentru apa si 3000 4000 m/s pentru solul pamantului .

NOTA. Din ecuatia Bernoulli rezulta ca viteza curgerii gazului depinde de presiunea sau de temperatura a gazului in miscare, ceea ce arata ca valoarea vitezei sunetului nu este constanta si se modifica in functie de viteza curgerii .

Un criteriu de baza cu care se identifica regimurile de curgere a gazelor este numarul Mach*

, (2.10)

care arata raportul dintre viteza curgerii W (sau dintre viteza miscarii a corpurilor solide intr-un gaz ) si viteza sunetului a numita in dinamica gazelor viteza sunetului locala, adica viteza sunetului determinata intr-un gaz in miscare cu viteza w.

Numarul Mach este un criteriu de baza in dinamica gazelor cu care se clasifica regimurile de miscare a gazului. Astfel, daca numarul M cuprinde valori:

M < (la W< a curgerea se numeste subsonica,

M= 1 (la W = a curgerea este transonica,

M >1 (la W > a curgerea se numeste supersonica,

M >>1 (la W » a) curgerea va fi hipersonica.

* in dinamica gazelor criteriul Mach se noteaza cu o singura litera M , asa cum a fost introdus de L. Mach.

Procesul de propagare a sunetului in gaze depinde mult de regimul de curgere.

Mai intai vom examina cum se propaga perturbatiile de presiune mici (undele sonore) printr-un asa numit fluid franat, adica care se afla in stare de repaus (viteza curgerii gazului W = 0).

Dupa cum se stie din fizica, o perturbatie de presiune, la fel ca si presiunea, se transmite direct in toate partile, iar punctele supuse la una si aceeasi intensitate de presiune sunt situate pe o sfera (fig. 2.2).

Fig. 2.2. Propagarea undelor cu intensitate mica in mediul franat (w= 0; M= 0)

Deci, daca intr-un punct A apare o perturbatie de presiune, atunci frontul perturbatiei intr-un interval de timp t t, 2t si 3t, va distanta la r a t respectiv la:    a t; a 2t; a 3t etc.

La miscarea sursei de perturbatie (punctul A) cu o viteza subsonica W < a, M < 1 (ceea ce dupa principiul relativiitatii din mecanica, este una si aceeasi cu curgerea fluidului in fata punctului A cu viteza w), dupa un timp oarecare apare un decalaj intre pozitia frontului de unda si sursa (fig.2.3):

Fig. 2.3. Propagarea undelor de presiune cu intensitatea mica in regimul subsonic (W < a, M < 1).

In cazul cand W = a, sferele frontului acustic sunt deplasate la o distanta egala cu deplasarea punctului A si sunt tangente intre ele. Perturbatiile se propaga numai in partea dreapta a liniei verticale, deci nu pot patrunde in semispatiul stang prin linia de separare, trecuta prin punctul de tangenta (fig.2.4):

Fig. 2.4. Propagarea undelor de presiune de intensitate mica in regimul transonic    (W = a, M = 1).

Cu cresterea vitezei de miscare w>a, regimul de curgere devine supersonic si sferele de perturbatie sunt deplasate in urma, iar zona de propagarea a perturbatiilor se transfroma intr-un con, numit conul lui Mach laturile caruia sunt tangente la sferele de perturbatii (fig.2.5):

Fig. 2.5. Propagarea undelor de presiune cu intensitatea mica in regimul supersonic   (w> a, M>

Unghiul conului Mach a_M se determina din raportul :

,

de unde unghiul va fi

NOTA. Cu cresterea numarului Mach, conul lui Mach devine mai ascutit. Prin aceasta se explica fenomenul avionului fara zgomot. Observatorul vede avionul supersonic zburand deasupra lui si numai cand avionul este in departare, apare un trasnet (unda Mach), dupa care incepe sa se aude zgomotul caracteristic al unui avion cu reactie. Astfel zgomotul nu poate fi auzit, pana cand observatorul nu va ajunge in interiorul conului Mach, creat de avion.