Formalismul Lagrangeian privind determinarea starii si evolutiei starilor

Mecanica analitica asa cum a fost conceputa de intemeietorii ei ( J. L. Lagrange, J. d Alembert, W. R. Hamilton, K. F. Gauss, etc. ), studiaza miscarea mecanica a unor sisteme de corpuri ( puncte materiale ), intre care exista numai legaturi fara frecare. Mecanica analitica stabileste ecuatii si da metode cu un grad mare de generalitate, care permit sa fie studiate sisteme cu mai multe grade de libertate.

Principiile mecanicii analitice, dupa metodele matematice folosite, pot fi clasificate in:

a)      Principii diferentiale:

principiul lui d Alembert;

principiul lucrului mecanic virtual;

principiul lui Gauss al celor mai mici constrangeri;

b)      Principii integrale sau variationale:

principiul lui Hamilton;

principiul lui Maupertuis ( al minimei actiuni ).

In mecanica newtoniana s-a studiat miscarea unui punct material in diferite sisteme de coordonate ( cartezian, polar, cilindric, etc. ), fiecare coordonata avand o anumita semnificatie.

In mecanica analitica se aduce o generalizare a notiunii de coordonata, care nu mai este strict legata de un anumit sistem de coordonate. Aceste coordonate se numesc coordonate generalizate sau lagrangiene si se noteaza cu . Corespunzator coordonatelor generalizate exista si viteze generalizate care pot fi viteze liniare sau viteze unghiulare, dupa cum coordonatele generalizate respective reprezinta lungimi sau unghiuri. In mod analog sunt si acceleratiile generalizate .

In mecanica analitica legaturile ( restrictia geometrica impusa unui punct, rigid sau sistem mecanic; de exemplu un punct material sa ramana pe o anumita curba sau suprafata ) sunt considerate numai fara frecare si exprimate cu ajutorul unor relatii matematice in functie de tipul lor:

scleronome ( cand timpul nu apare explicit )

( pentru suprafete si curbe fixe )

reonome ( cand timpul apare explicit )

     ( pentru suprafata sau curba mobila )

olonome ( cand nu apar componentele vitezei si acceleratiei )

neolonome (cand apar explicit componentele vitezei sau acceleratiei )

In mecanica analitica se intalnesc doua categorii de deplasari:

deplasari reale :      

deplasari virtuale :

A.     Principiile mecanicii analitice

1. Principiul lui d Alembert

" Fortele date ( direct aplicate ), fortele de legatura si fortele de inertie isi fac echilibru. "

  ( este un echilibru fictiv deoarece actioneaza

asupra agentului extern )

Principiul lui d Alembert reprezinta o metoda comoda si utila numita metoda cinetico-statica pentru: determinarea legii de miscare a unui corp sau sisteme de corpuri; calculul reactiunilor dinamice; studiul repausului relativ.

Eseu: Tehnica auditului energetic pentru cladiri Proiect: Condensul - ce putem face pentru a micsora riscul aparitiei condensului?

2. Principiul lucrului mecanic virtual ( deplasarilor virtuale )

" In cazul unui sistem de puncte materiale cu legaturi fara frecare aflat in echilibru, lucru mecanic virtual al fortelor de legatura, corespunzator oricarei deplasari virtuale ( care este compatibila cu legatura ) este nul."

( sistem de n puncte materiale )

3. Principiul celor mai mici constrangeri

" Constrangerea unui sistem fizic este minima pentru miscarea reala a unui sistem de puncte materiale, fata de constrangerea la miscarile posibile din punct de vedere cinematic al sistemului."

( constrangerea )

( matematic principiu se postuleaza prin aceasta relatie )

4. Principiul lui Hamilton

" In cazul unui sistem dinamic olonom-reonom si conservativ cu s grade de libertate, a carui functie de stare (functia Lagrange) contine explicit timpul, integrala de actiune (actiunea hamiltoniana) luata intre pozitia initiala a sistemului de puncte materiale si pozitia sa finala pe drumul miscarii reale a sistemului, are valoarea stationara in raport cu actiunile corespunzatoare unor drumuri compatibile cu legaturile care s-ar efectua de catre sistem intre aceleasi pozitii initiala si finala, corespunzatoare acelorasi momente de timp."

B.      Ecuatiile lui Lagrange

Se studiaza miscarea unui sistem de n puncte materiale, care au h grade de libertate, deci pozitia este data de coordonatele generalizate .

Legatura este reonoma si olonoma deci sunt independente.

Vectorul de pozitie este iar deplasarea virtuala

Pentru studiul miscarii se aplica principiul lui d Alembert, apoi principiul lucrului mecanic virtual:

; se introduce expresia

si se obtine:

si se obtin ecuatiile lui Lagrange de speta I.

unde este forta generalizata.

Deoarece folosirea ecuatiilor de miscare sub aceasta forma nu este comoda se vor folosi ecuatiile Lagrange de speta a II-a de forma:

; ( k = 1, 2, . . . , h )

unde     ( energia cinetica )

Daca forta generatoare deriva dintr-o functie de forta atunci; forta generalizata este conservativa si ecuatiile Lagrange au forma:

( daca fortele date admit energie potentiala U )

Se defineste ca functie a lui Lagrange sau potential cinetic expresia:

unde

Functia lui Lagrange depinde de si t

Se observa ca : si in acest caz ecuatiile Lagrange se scriu sub forma:

Ecuatiile Lagrange scrise sub una din formele de mai sus sunt ecuatii generate de miscare din mecanica analitica pentru un sistem material supus la legaturi olonome.

Ecuatiile lui Lagrange reprezinta un sistem de h ecuatii diferentiale de ordin II, in raport cu functiile , care conduc la solutii unice care satisfac conditiile initiale referitoare la pozitii si la viteze .

Aplicatie:

Se da sistemul de corpuri din fig. Compus dintr-o prisma care are unghiul x, inaltimea h si greutatea G, care se misca pe un plan orizontal si un corp de greutate P, care se misca pe prisma. Neglijand frecarile se cere sa se afle legea de miscare a sistemului ( acceleratiile ).

Problema are doua grade de libertate. Se aleg drept coordonate generalizate parametrii liniari si ( fig. ). Energia cinetica a sistemului este

Pentru determinarea vitezei se pot folosi doua metode:

a)                               

de unde:

deci:

b) Se studiaza miscarea corpului P ca o miscare relativa:

Deci energia cinetica este:

Se vede ca:

Calculul fortei generalizate poate fi facut de asemenea, prin doua metode:

Cu ajutorul lucrului mecanic virtual, considerand pe rand pe si variabili:

deci:

Cu ajutorul functiei de forta, care in acest caz are forma:

unde s-a tinut seama de sensul fortelor fata de axe. Deci

Ecuatiile lui Lagrange sunt:

Rezolvand sistemul se obtine:

Rezultatul este acelasi cu cel obtinut prin aplicarea principiului lui d Alembert.

Problema are doua grade de libertate, deoarece se pot alege doi parametri independenti si cu ajutorul carora se determina pozitia sistemului la un anumit moment.

Acceleratiile sunt:

Cele doua corpuri efectueaza miscari de translatie.

Se introduc fortele de inertie in centrele de greutate, folosind acceleratiile absolute. Problema este mai dificila pentru corpul de greutate P, la care acceleratia are rol de acceleratie de transport, iar acceleratie relativa. In consecinta se introduc fortele de inertie si corespunzator componentelor acceleratiei absolute.

Se aplica metoda cineto-statica, observand ca sunt suficiente numai ecuatiile de proiectii:

Rezolvand acest sistem de ecuatii se obtine:

Bibliografie

Cursul de fizica Berkeley, volumele I-V, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1983.

Caius Iacob, Mecanica teoretica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1980.

E. Deciu; M. Radoi, Mecanica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1977.