Functii de matrice. Valori proprii

Functii de matrice. Valori proprii

Puteri de matrice

Daca A este o matrice patratica si p este un numar intreg pozitiv, atunci A^p multiplica pe A cu ea insasi de p ori.

» X = A^2
X =
3 6 10
6 14 25
10 25 46

Daca A este patratica si nesingulara, atunci A^(-p) multiplica pe inv(A) cu ea insasi de p ori.

Y=A^(-2)
Y =
19.0000 -26.0000 10.0000
-26.0000 38.0000 -15.0000
10.0000 -15.0000 6.0000

Ridicarea la putere element cu element se face utilizand operatorul (functia) . De exemplu:

» X = A.^2
A =
1 1 1
1 4 9
1 9 36

Radacina patrata de matrice

Functia sqrtm(A) permite calculul lui A^(1/2) printr-un algoritm mai precis decat utilizarea puterii de matrice

Exponentiala de matrice

Un sistem de ecuatii diferentiale ordinare cu coeficienti constanti poate fi scris:

unde x = x(t) este un vector de functii de timp si A este o matrice independenta de timp.

Solutia sistemului poate fi scrisa prin intermediul exponentialei de matrice

Functia expm(A)permite calculul exponentialei de matrice.

Valori proprii

O valoare proprie si un vector propriu ale unei matrice patratice A sunt un scalar si un vector v care satisfac egalitatea

Cu valorile proprii pe diagonala unei matrice de tip diagonal  si cu vectorii proprii corespunzatori care formeaza coloanele unei matrice V vom avea

Daca V este nesingulara obtinem decompozitia (descompunerea) pe baza valorilor proprii:

Exemplu:

» A=[-1 -3 1;2 -2 -1;0 1 -3]

A =

-1 -3 1

2 -2 -1

0 1 -3

» lambda=eig(A)

lambda =

-1.7593 + 2.4847i

-1.7593 - 2.4847i

-2.4814

Lambda va fi un vector care contine valorile proprii ale matricei.

Daca functia eig este utilizata cu doua argumente de iesire vom obtine vectorii proprii si valorile proprii (acestea sub forma diagonala):

» [V,D]=eig(A)

V =

0.2233 + 0.6835i 0.2233 - 0.6835i 0.3160

0.6481 - 0.0862i 0.6481 + 0.0862i 0.4368

0.0765 - 0.2227i 0.0765 + 0.2227i 0.8422

D =

-1.7593 + 2.4847i 0 0

0 -1.7593 - 2.4847i 0

0 0 -2.4814

Observatie: Toolbox-ul Symbolic Math extinde capacitatea MATLAB-ului prin conectarea la Maple, care este un sistem de calcul algebric performant. Una din functiile toolbox-ului permite calculul formei canonice Jordan.

» [X,J]=jordan(A)

X =

0.4440 + 0.1691i 0.4440 - 0.1691i

0.1549 -0.0775 + 0.4250i -0.0775 - 0.4250i

0.2987 -0.1494 + 0.0434i -0.1494 - 0.0434i

J =

-2.4814 0 0

0 -1.7593 - 2.4847i 0

0 0 -1.7593 + 2.4847i

Forma canonica Jordan este un concept teoretic important, dar nu este indicata folosirea in cazul matricilor mari sau pentru matricile cu elemente afectate de erori de rotunjire sau de alte incertitudini. MATLAB-ul poate folosi in astfel de cazuri descompunerea Schur (functia schur).