Liniarizarea sistemelor neliniare

Liniarizarea sistemelor neliniare

Cele mai multe componente ale sistemelor fizice au caracteristici neliniare. In pratica anumite caracteristici neliniare pot fi aproximate cu modele liniare pe un domeniu larg de functionare.  Exista si componente fizice cu caracteristici puternic neliniare pentru care un model liniar este valabil doar intr-un domeniu limitat de functionare, deseori doar in punctual de functionare in care este realizata liniarizarea. In multe cazuri, cand un sistem neliniar este liniarizat intr-un punct de functionare, modelul liniar poate contine elemente variabile in timp.

Fie un sistem neliniar reprezentat de urmatoarea ecuatie de stare

unde x(t) este vectorul de stare de dimensiune n, u(t) este vectorul intrarilor de dimensiune p, iar f este o functie vectoriala de dimensiune n.

Deoarece sistemele neliniare sunt de regula greu de analizat si proiectat, este de dorit sa se efectueze o liniarizare cand este posibil.

Liniarizarea se face prin dezvoltarea in serie Taylor in jurul unui punct nominal de functionare sau a unei traiectorii nominale. Sunt neglijati toti termenii de ordin mai mare ca unu si rezulta o aproximare liniara in punctual nominal de functionare.

Fie traiectoria nominala de functionare x₀(t) ce corespunde intrarii nominale u₀(t) si anumitor conditii initiale fixate. Dezvoltam ecuatia de stare neliniara in serie Taylor in jurul lui x₀(t), neglijam termenii de ordin superior si obtinem

unde i = 1, 2, ., n. Fie

si

Atunci

Deoarece

ecuatia liniarizata se scrie

Ecuatia se poate scrie sub forma matricial-vectoriala

unde

Mentionam ca matricele A si B au fost evaluate in punctul nominal de functionare x₀, u₀. Matricele A si B pot contine elemente variabile in timp.

Referat: Contabilitatea tertilor Referat: Structurarea elementelor de activ si pasiv dupa criterii financiare

Exemplu. Fie sistemul neliniar cu neliniaritatea saturatie din Figura 45.

Figura 45 . Sistem neliniar.

Ecuatiile de stare ale partii liniare sunt

Saturatia este descrisa de ecuatia intrare - iesire

unde

Ecuatiile liniarizate sunt

unde x₀₁ este valoarea nominala a lui x₁(t). Ecuatiile liniarizate sunt valabile doar pentru semnale mici. In forma matricial-vectoriala, ecuatiile de stare liniarizate se scriu

unde

Este interesant de vazut semnificatia liniarizarii. Daca x₀₁ este ales in originea neliniaritatii, x₀₁ = 0, atunci a = K si ecuatia liniarizata devine

In acest caz modelul liniarizat este echivalent cu inmultirea cu constanta K. Pe de alta parte, daca x₀₁ este mare, punctual nominal de functionare va fi pe portiunea saturata a neliniaritatii si a = 0. Asta inseamna ca orice mica variatie a lui x₁(t) (si deci a lui ) nu va produce practic nicio schimbare in .

Exemplu. Fie sistemul neliniar

Vom liniariza aceste ecuatii in jurul traiectoriei nominale [x₀₁(t), x₀₂(t)] care este solutia ecuatiilor diferentiale cu conditiile initiale x₁(0) = x₂(0) = 1 si intrarea u(t) = 0.

Solutia nominala a ecuatiilor este:

x₀₂(t) = x₂(0) = 1

x₀₁(t) = -t + 1

Vom calcula elementele matricelor A si B de mai sus.

,  

,  

,  

Ecuatiile liniarizate sunt

Aceasta ecuatie are un coeficient variabil in timp.

Exemplu. Fie sistemul de suspensie magnetica a unui bile din Figura 46. Sistemul trebuie sa mentina pozitia bilei prin modificarea curentului in electromagnet prin intermediul tensiunii de intrare e(t).

Ecuatiile ce descriu sistemul sunt:

In ecuatiile de mai sus M este masa bilei, g acceleratia gravitationala, y(t) este pozitia bilei, L si R sunt inductanta si respective rezistenta infasurarii, i(t) este curentul prin infasurare, iar e(t) este tensiunea de intrare. Forta dezvoltata de electromagnet este indreptata in sensul descresterii distantei, adica este o forta de atractie.

Figura 46 . Sistem de suspensie magnetica a unei bile.

Vom rescrie sistemul de ecuatii sub forma unui sistem de ordinul intai cu notatiile , , . Ecuatiile de stare sunt

 

Vom liniariza sistemul de ecuatii in jurul punctului de echilibru . Avem deci

Valoarea nominala a curentului se determina din ecuatia de miscare a bilei

Ecuatiile de stare liniarizate au matricele A si B de mai jos: