Conversia si prelucrarea semnalelor

1.1      Conversia analog-numerica si cuantizarea

Convertorul analog-numeric, CAN, converteste un semnal analogic intr-un numar binar. Domeniul de intrare al unui CAN poate fi unipolar sau bipolar. Numarul binar rezultat poate fi considerat subunitar sau intreg. In cele ce urmeaza vom considera numerele binare rezultate din conversie subunitare. La reprezentarea cu n biti, rezolutia sau nivelul de cuantizare este q = 1 / 2ⁿ din intreaga scala. Notand intreaga scala cu FS avem

q = FS / 2ⁿ

Acest parametru este egal cu cel mai putin semnificativ bit.

Exista doua tipuri de cuantizare:

cuantizarea prin rotunjire (cea mai utilizata),

cuantizarea prin trunchiere.

Fie x(t) tensiunea de intrare in convertorul analog-numeric si fie y(t) tensiunea corespunzatoare numarului binary furnizat de convertor. La cuantizarea prin rotunjire avem relatia

pentru    y(t) = nq, n intreg

La cuantizarea prin trunchiere avem relatia

pentru y(t) = nq, n intreg

Diferenta intre semnalul analogic de la intrare si iesirea convertorului se numeste eroarea de cuantizare

e(t) = x(t) - y(t)

Cuantizarea prin trunchiere

Figura 2 arata relatia intre semnalul analogic unipolar si numarul binar fractionar de 3 biti la utilizarea cuantizarii prin trunchiere. In cazul domeniului unipolar se foloseste de regula reprezentarea in cod direct. Rezolutia unui astfel de convertor analog-numeric este 1/8 din intreaga scala. De exemplu, pentru un domeniu FS = 10V

q = FS * 1 / 8 = 10 * 1 / 8 = 1.25 V

Figura 1. Relatia intre semnalele x si y.

Figura 2 . Relatia intre semnalul analogic unipolar si numarul binar fractionar de 3 biti.

Numarul furnizat de convertorul analog-numeric este fractiunea din intreaga scala a convertorului. Vom considera deci numerele binare rezultate din conversie subunitare. De exemplu, in Figura 2, numarul 111 corespunde semnalului ce reprezinta 7q = 7/8 din intreaga scala a convertorului si nu intregii scale. Considerand intreaga scala FS = 10V ca mai sus, q = 1.25 si tensiunea de intrare ce corespunde numarului 111 este 8.75 V.

Deoarece numarul de biti este finit, rezolutia convertorului analog-numeric este finita.

Tabelul 3. Relatia intrare-iesire a unui convertor analog-numeric unipolar de 3 biti.

Figura 3 . Eroarea de cuantizarea la trunchiere.

Fie eroarea de cuantizare prin trunchiere

e(t) = x(t) - y(t)

Forma ei este cea din in Figura 3. Valoarea medie a acestei erori este

iar valoarea efectiva este

Vom calcula in continuare raportul semnal-zgomot al unui CAN. Fie un semnal sinusoidal ce va fi cuantizat

Curentul debitat pe o rezistenta R este

Puterea instantanee este

Vom calcula puterea medie pe o perioada

Vom exprima functia de integrat ca

si obtinem

Cu notatia obtinem

La cuantizarea semnalului pe domeniul cu n biti avem deci

Puterea zgomotului este, dupa cum s-a calculate mai sus

Raportul semnal-zgomot in dB se defineste ca

El are expresia

Cuantizarea prin rotunjire

Figura 4 arata relatia intre semnalul analogic bipolar de la intrarea unui convertor analog-numeric de 3 biti si semnalul cuantizat prin rotunjire.

Referat: Contabilitatea tertilor Referat: Structurarea elementelor de activ si pasiv dupa criterii financiare

Figura 4 . Relatia intre semnalul analogic la intrare si semnalul cuantizat

In acest caz se cuantizeaza valoarea semnalului analogic la cel mai apropiat nivel de tensiune corespunzator numarului de iesire. Relatia intre semnalul de intrare x si cel cuantizat este cea din Tabelul 4. Mentionam ca, pentru a trece de la reprezentarea in marime si semn la cea in complement fata de 2, complementam bitul de semn, vezi Tabelul 2.

Tabelul 4 . Relatia intrare-iesire a unui convertor analog-numeric bipolar de 3 biti.

Eroarea de cuantizare depinde de numarul de biti al convertorului (numarul de nivele de cuantizare). In general, eroarea de cuantizare maxima este de , inainte de a atinge saturatia.

Fie un CAN cu domeniul [-5V, 5V]. In acest caz avem q = 10 / 8 V = 1.25V. Este important de mentionat, tinand cont de nivelele de saturatie din Figura 4, ca iesirea maxima numerica a convertorului in complement fata de 2 este numarul 011 ce corespunde valorii 3q din intreaga scala, si nu intreaga scala. Pentru ca acest lucru sa nu aibe efect asupra preciziei convertorului trebuie ca valoarea tensiunii analogice de intrare sa nu depaseasca valoarea 3q din intreaga scala + q/2. In cazul nostru q = 1.25V, iar valoarea maxima a tensiunii analogice la intrare nu trebuie sa depaseasca 3.75 + 0.625 = 4.375V.

Figura 5 . Eroarea de cuantizare la rotunjire.

Eroarea de cuantizare la rotunjire este cea din Figura 5. Valoarea medie a acestei erori este

iar valoarea efectiva a acestei erori este

Vom calcula in continuare raportul semnal-zgomot pentru acelasi semnal sinusoidal cuantizat. In acest caz avem

iar raportul semnal zgomot la cuantizarea cu n biti este

Se deduce de aici ca cuantizarea prin rotunjire este mai buna deoarece eroarea de cuantizare este nula si valoarea efectiva a erorii de cuantizare este mai mica. Acest tip de cuantizare se utilizeaza in CAN.

Timpul de conversie al unui CAN este o intarziere ce limiteaza frecventa semnalului de intrare. In aplicatiile practice semnalul de intrare variaza in timp si dispozitivul de esantionare si retinere are rolul de a mentine semnalul esantionat constant pe durata conversiei. Fie x(t) semnalul din Figura 6 ce este esantionat si fie T_c timpul de conversie. In acest interval de timp semnalul de intrare variaza cu Δx. CAN trebie sa converteasca valoarea x_s. Fie FS valoarea intregii scale. Semnalul trebuie convertit cu o rezolutie de 1 / 2ⁿ. Aproximam variatia Δx a semnalului de intrare pe intervalul T_c cu

Figura 6 . Timpul de conversie al unui CAN.

Pentru o rezolutie de 2^-n trebuie sa avem

de unde deducem

In practica putem masura un semnal prin cea mai inalta frecventa componenta

Derivata acestui semnal trebuie sa indeplineasca relatia

de unde deducem conditia

De exmplu, pentru un CAN de 10 biti cu timpul de conversie semnalul convertit nu trebuie sa contina componente cu pulsatia mai mare ca

Relatia arata ca pulsatia este invers proportionala cu timpul de conversie T_c si scade in proportie geometrica cu numarul de biti ai convertorului.

1.2      Dispozitive de esantionare si retinere

Un dispozitiv de esantionare si retinere converteste un semnal analogic intr-un tren de impulsuri modulate in amplitudine. Un dispozitiv de retinere mentine valoarea impulsului un interval prescris de timp. In aplicatiile practice esantionarea si retinerea sunt efectuate de un singur dispozitiv de esantionare si retinere.

Schema de principiu a unui dispozitiv de esantionare si retinere este cea din Figura 7.

Figura 7 . Schema de principiu a unui dispozitiv de esantionare si retinere.

Cand contactul este inchis, iesirea dispozitivului y(t) esantioneaza si urmareste tensiunea de intrare u(t). Cand contactul este deschis, iesirea este mentinuta la valoarea la care condensatorul s-a incarcat. Inchiderea contactului este comandata de un ceas, iar intervalul intre doua comenzi este numit perioada de esantionare, T.

In practica, contactul este inchis o anumita perioada de timp p. De regula p << T. Pentru modelarea matematica se considera p = 0, adica un esantionator ideal. In acest caz dispozitivul de esantionare si retinere este reprezentat ca in Figura 8.

Figura 8 . Dispozitiv de esantionare si retinere ideal.

1.3      Conversia numeric-analogica

Conversia numeric-analogica consta in transformarea unui numar intr-un semnal analogic echivalent. Schema de principiu a unui convertor numeric-analogic este cea din Figura 9. Intrarile numerice sunt aplicate unui circuit logic care comanda niste contacte electronice ce comuta o sursa de tensiune de referinta de precizie la intrarea unei retele de rezistente ponderate ce insumeaza valoarea tensiunii de referinta proportional cu ponderea bitilor din numarul binar de la intrare. Fiecare rezistenta este conectata de un comutator electronic la masa, in cazul unui bit 0, sau la tensiunea de referinta in cazul unui bit 1. Amplificatorul operational asigura tensiunea de iesire E₀ corespunzatoare.

Figura 9 . Schema de principiu a unui convertor numeric-analogic.

Schema principiala a unui convertor numeric-analogic de trei biti este cea din Figura 10, in care doar bitul cel mai semnificativ, MSB este 1. In consecinta, doar rezistenta R este conectata la tensiunea de referinta -E_r, celelalte rezistente sunt conectate la masa.

Figura 10 . Schema unui convertor numeric analogic de trei biti.

Tensiune de iesire E₀ este

Daca intarea este numarul 110, rezistentele R si 2R sunt conectate la tensiunea de referinta si tensiune de iesire este

Bitul cel mai putin semnificativ, LSB, ce corespunde numarului 001, iar tensiunea de iesire este . In consecinta, intreaga scala IS a tensiunii de iesire este . Tensiunile de iesire E₀ pentru toate combinatiile de intrare si intreaga scala FS = 10V sunt aratate in Tabelul 5.

Tabelul 5 . Tensiunea de iesire a unui convertor numeric-analogic de trei biti.

In cazul unui convertor numeric-analogic cu n biti, reteaua de rezistente va avea n rezistente in paralel. Valoarea rezistentei corespunzatoare bitului cel mai putin semnificativ va fi 2^n-1R. Tensiune de iesire a convertorului va fi

unde (a₀, a₁, ., a_n-1) numarul de intrare, cu a₀ bitul cel mai semnificativ, MSB.

1.4      Chestiuni de studiat

1.     Sa se determine numarul de biti ai unui CAN pentru a avea un raport semnal zgomot de 80dB, 70dB, 60dB la cuantizarea prin cele doua metode.

2.     Sa se determine frecventa maxima a semnalului ce se poate esantiona cu un convertor de 10, 12, 14 biti cu timpul de conversie de 1 μs.

3.     Sa se determine frecventa maxima a semnalului ce se poate esantiona cu un convertor de 10, 12, 14 biti cu timpul de conversie de 50 ns.

4.     Sa se determine rezolutia unui CAN de 10, 12, 14 biti pentru un domeniu de [-5V, 5V].

5.     Fie un CAN de 10 biti cu domeniul [-5V, 5V]. Sa se determine iesirea CAN pentru tensiunile de intrare de 2.85V si -3.50V.

6.     Fie un CNA de 10 biti in complement fata de 2. Tensiunea de referinta este de 10V. Sa se determine tensiunea de iesire pentru intrarile 0101110101 si 1011011011.

7.     Fie un CNA de 8 biti cu tensiunea de referinta U_ref = 10V. Sa se completeze tabelul de mai jos.

1.     Fie un CAN de 8 biti cu domeniul tensiunii de intrare FS = [0V, 10V]. Sa se completeze tabelul de mai jos.