Tehnici de identificare dinamica a proceselor. notiuni de baza privind identificarea modelelor dinamice ale proceselor

Tehnici de identificare dinamicA a proceselor. NOTIUNI DE BAZA PRIVIND IDENTIFICAREA MODELELOR DINAMICE ALE PROCESELOR

1. OBIECTIVELE LUCRARII

Lucrarea prezinta principiile de baza ale identificarii modelelor dinamice ale proceselor si principalele tipuri de algoritmi de adaptare parametrica ce intervin in metodele de identificare recursive.

2. BREVIAR TEORETIC

2.1. Metoda celor mai mici patrate

In cadrul metodei celor mai mici patrate (MCMMP), sistemul se considera descris de urmatoarea ecuatie cu diferente

                 (11.1)

unde:

- marimea de intrare;

- marimea de iesire;

- zgomotul alb de medie zero si dispersie ;

- operator de intarziere.

Modelul se considera descris de o ecuatie cu diferente care are aceeasi structura cu ecuatia de mai sus.

                (11.2)

unde:

- marimea de intrare;

- marimea de iesire;

- reziduul modelului;

- operator de intarziere;

                (11.3)

                (11.4)

Se fac urmatoarele notatii:

               (11.5)

           (11.6)

Cu aceste notatii, marimea de iesire data de model este

                                (11.7)

Avand disponibila structura modelului se impune conditia ca media patratica a erorii de predictie sa fie minima. Estimatia celor mai mici patrate a lui , bazata pe date, este prin definitie

,                             (11.8)

unde

                      (11.9)

Din conditia de mai sus rezulta

             (11.10)

In continuare, vor fi enuntate cateva rezultate referitoare la existenta inversei matricei

,                                     (11.11)

si a consistentei estimatorului .

Problema consistentei estimatorului si a existentei inversei matricei de mai sus este strans corelata cu persistenta semnalului de intrare . Daca se noteaza

- parametrii modelului,

iar cu

- vectorul care contine istoria procesului (intrarile si iesirile anterioare), atunci ecuatia principala devine

                                    (11.12)

Modelul va fi descris printr-o ecuatie de aceeasi forma

,                     (11.13)

unde

- parametrii estimati, iar

(11.14)

Estimarea parametrilor modelului presupune in primul rand stabilirea , si apoi determinare vectorului pe baza datelor de intrare si iesire.

De fapt, esenta metodei consta in a presupune faptul ca modelul este determinist

,                                (11.15)

situatie in care se calculeaza impunandu-se urmatoarea conditie

                         (11.16)

Expresia explicita a lui se obtine din conditia de anulare a gradientului functiei criteriu

Eseu: Eterificarea monozaharidelor Eseu: COMBUSTIBILI -combustibili folositi in industria aerospatiala- referat chimie

,

(11.17)

                                    

Daca se noteaza cu

, ,                  (11.18)

atunci se obtine

,                                  (11.19)

,                          (11.20)

.                                                   (11.21)

Cu aceste notatii estimatorul se poate scrie sub forma urmatoare

                                        (11.22)

Estimatorul dat prin relatia de mai sus reprezinta estimatorul celor mai mici patrate care s-a obtinut pe baza datelor de intrare si a celor de iesire .

2.2. Metoda variabilei instrumentale

Metoda variabilei instrumentale poate fi privita ca o generalizare a metodei celor mai mici patrate care furnizeaza numai partea determinista a modelului.

Fie sistemul descris de urmatoarea ecuatie cu diferente

,               (11.23)

sau de ecuatia

                                   (11.24)

unde s-a notat cu

.               (11.25)

Estimatia se poate obtine si euristic inmultindu-se relatia 11.25) la stanga cu

                

(11.26)

                    

In aceasta relatie s-a neglijat termenul

    (11.27)

Daca si sunt necorelate, atunci termenul de mai sus care s-a neglijat in relatia respectiva este nesemnificativ, ceea ce inseamna ca si respectiv si sunt necorelate.

Observatie

In cazul acestei estimari s-a presupus structura modelului identica cu cea a sistemului. Aspectul care intervine in analiza care urmeaza se refera la faptul ca si sunt necorelate, dar si sunt corelate deoarece , deci se adauga la iesire. Pornind de la aceasta constatare se inmulteste relatia care descrie sistemul (a doua din 11.26) cu format numai din valori ale lui , situatie in care se poate neglija deoarece si sunt necorelate.

Cu aceste observatii relatia devine

   (11.28)

unde se numeste estimatie de variabila instrumentala, iar este vector de variabila instrumentala care nu are o semnificatie fizica, constituind doar un instrument de lucru.

Daca se considera , atunci

           (11.29)

In relatia anterioara s-a considerat faptul ca exista inversa matricei

                                            (11.30)

Un vector variabila instrumentala frecvent utilizat in conjunctie cu relatia precedenta este si vectorul urmator

        (11.31)

unde este un filtru stabil.

Daca nu exista informatii despre sistem, atunci se considera . Daca sunt disponibile informatii (de exemplu se cunosc estimatiile initiale , pentru polinoamele si ), atunci se poate alege

                                       (11.32)

Introducerea lui are o mare importanta in ceea ce priveste precizia si stabilitatea numerica a algoritmului de identificare.

O transformare liniara a vectorului nu afecteaza estimatia. Pentru a demonstra aceasta afirmatie se considera urmatoarea transformare liniara si nesingulara a lui

                         (11.33)

unde este o matrice de dimensiune .

Utilizandu-se transformarea de mai sus, relatia lui devine

                          (11.34)

ceea ce justifica faptul ca transformarea respectiva nu afecteaza estimatia.

Pentru a pune in evidenta anumite aspecte ale estimatorului de variabila instrumentala se considera transformarea urmatoare

.                             (11.35)

In relatia de mai sus s-a considerat , unde s-a neglijat reziduul aleator , iar si reprezinta estimatii initiale (aproximative) ale partii deterministe a modelului.

Se poate arata faptul ca daca si sunt prime, atunci marimea S este nesingulara. Utilizandu-se transformarea de mai sus se

poate afirma ca pentru aproximatii bune a partii deterministe si pentru un N suficient de mare are loc urmatoarea relatie

        (11.36)

deci matricea care se inverseaza tinde, pe masura ce estimatiilor , se corecteaza, la o matrice simetrica, pozitiv definita si mai bine conditionata decat o matrice nesimetrica si indefinita. In acest caz estimatorul variabila instrumentala obtinut este mai precis, ceea ce justifica calculele efectuate cu transformarea .

O problema care se analizeaza in cele ce urmeaza este si consistenta estimatorului de variabila instrumentala. Se considera sistemul stochastic monovariabil definit prin ecuatia urmatoare

                (11.37)

iar modelul descris prin ecuatia

                (11.38)

unde

, ,

- zgomot alb,

- reziduurile modelului.

Dupa cum se stie si reprezinta modelul zgomotului, iar in cele ce urmeaza se considera de forma urmatoare

        (11.39)

        (11.40)

Se defineste vectorul variabila instrumentala de forma

          (11.41)

In aceste conditii estimatia este data de relatia urmatoare

                 (11.42)

Termenul din relatia anterioara tinde la zero daca N tinde la infinit, deoarece nu mai este corelat cu . Aceasta se justifica prin faptul ca contine esantioane pana la momentul , iar contine esantioanele care nu mai sunt corelate cu .

In cele ce urmeaza se face urmatoarea notatie

    (11.43)

necesara estimarii teoremei de mai jos.

In continuare este prezentat algoritmul metodei variabilei instrumentala pentru cazul cand vectorul este de forma

                            (11.44)

unde

  (11.45)

Inregistrarile obtinute de la proces se presupun cunoscute si se noteaza cu .

Algoritmul metodei de variabila instrumentala

Pas 1: Se determina si utilizand metoda celor mai mici patrate.

Pas 2: Se initializeaza contorul

Pas 3: Se determina estimatia de variabila instrumentala

                              (11.46)

unde

                        (11.47)

               (11.48)

             (11.49)

iar , reprezinta estimatiile obtinute pentru valoarea contorului egala cu .

Pas 4: Se incrementeaza contorul ;

Pas 5: Daca , atunci - STOP, altfel - continua;

Pas 6: Daca atunci - salt la Pas3, altfel STOP.

Dupa cum se observa algoritmul se opreste daca este indeplinita una din urmatoarele conditii de STOP:

, ceea ce inseamna ca vectorul estimatelor s-a obtinut cu o precizie buna;

ceea ce inseamna ca dupa parcurgerea a unui numar de iteratii nu s-a indeplinit criteriul anterior.

3. Modul de lucru

Daca nu este deja creat, se creeaza un director/folder de lucru.;

Se activeaza platforma de lucru MATLAB

Se considera modelul descris de urmatoarea ecuatie cu diferente 

y(t)-1.5y(t-1)+0.7y(t-2)=u(t-1)+0.5u(t-2)+e(t)

Se elaboreaza programul care implementeaza etapa de estimare din cadrul algoritmului MCMMP

Se elaboreaza programul care implementeaza algoritmul metodei variabilei instrumentale

Se analizeaza comparativ rezultatele obtinute in urma aplicarii celor doua metode de identificare.