Modelul de mediu continuu

In fluidele in miscare, particulele, care stau la baza modelului de mediu continuu, sunt parti din fluid ale caror dimensiuni sunt astfel considerate incat caracteristicile medii (pe volumul V) ale miscarii satisfac anumite conditii de netezime (functiile care le definesc si derivatele lor pana la un anumit ordin sunt continue). Pentru subparticule, aceste marimi au salturi si variatii bruste legate de numarul sensibil fluctuant de molecule din subparticule. Ca urmare, caracteristicile medii nu reprezinta nici informatii la nivel molecular, nici informatii la nivel de mediu continuu. In deducerea ecuatiilor Navier-Stokes de miscare a mediului continuu fluid, dimensiunea si distanta dintre particule nu intervine in nici un fel, deoarece nu s-a luat in considerare acest fapt in stabilirea corespondentei bijectie dintre multimea particulelor si multimea din spatiul euclidian R³. In schimb, experimental, se poate determina dimensiunea particulelor care corespunde modelului de mediu continuu; aceasta dimensiune se numeste scara a miscarii fluide.

Un model particular de mediu continuu fluid este acela potential al fluidelor ideale in care, in loc de ecuatiile Navier-Stokes, sunt folosite ecuatiile Euler. In cadrul acestui model, particula fluida trebuie sa fie caracterizata de . Modelul potential exista in orice miscare fluida, dar nu la orice scara de dimensiuni.

Modelele potentiale ale miscarilor incompresibile permanente in jurul obstacolelor reprezinta solutii ale problemei la limita:

(*)

pentru ecuatia Laplace , unde este viteza, (domeniul de miscare), C este frontiera lui D si are normala exterioara . Indicile c arata valori pe conturul C, indicile arata valori la distante mari, iar si sunt constante. Atunci cand functiile si C sunt functii regulate, ecuatia eliptica (*) are solutie unica, determinata de aceste marimi. In cazul in care aceste ecuatii de tip (*) prezinta singularitati, se pot construi solutii in domeniul de regularitate (coerenta), izoland vecinatati ale singularitatilor. Solutia intr-un punct descrie comportarea particulei centrata in acel punct, de dimensiune (ordin de marime) , unde este dimensionarea corpului. Aceasta solutie este valabila fizic daca: 1) in orice domeniu oricat de mic punctual; 2) in domenii de volum V in care ; 3) in domeniul de dimensiune maxima pentru care . Daca insa se coboara sub un , atunci avem pentru . Acest lucru conduce la concluzia ca scara dimensionala este data de . Ca urmare, cata vreme nu ne intereseaza comportarea locaca și ne este suficienta caracterizarea globala , soluția potențiala este acceptabila. Semnificația ei fizica inceteaza acolo unde dimensiunea d a particulelor nu mai este aceeași in tot campul mișcarii.

Soluția potențiala a mișcarii reprezinta un minim al energiei cinetice, ceea ce explica tendința fluidelor ca la scara globala sa corespunda acestei soluții. Prin optimizarea energiei la scara globala se ințelege urmatorul lucru: perturbațiile datorate prezenței corpului se transmit instantaneu in fludul incompresibil sub forma variațiilor de presiune, pentru particule de dimensiuni comparabile cu acelea ale corpului. Or transmiterea presiunii se realizeaza astfel incat mișcarea sa aiba in ansamblu minimul energetic in prezența corpului perturbator, pentru dimensiuni ale volumului comparabil cu acesta.

Cand scara mișcarii este omogena și mica in raport cu dimensiunile corpului, curgerea potențiala reprezinta o foarte buna aproximație pentru efectele de transmitere a presiunii datorate prezenței corpului. Cand insa scara este neomogena și variaza de la un ordin de marime mai mic decat dimensiunea corpului, pana la un ordin de marime comparabil cu acela al corpului, curgerea potențiala trebuie considerata zonal și ca urmare limitarea ei fizica este evidenta. Se recurge atunci la ecuații mai complexe care sa poata prinde caracterul local al curgerii, pana la o scara inferioara limitei de valabililtate a curgerii potențiale. Un astfel de model calitativ și incomplet fața de soluția ecuațiilor Navier-Stokes este modelul curgerii in stratul limita, exprimat prin ecuațiile de tip parabolic ale lui Prandtl, valabil intr-o zona ingusta de grosime δ, de langa peretele solid. In interiorul acestei zone , iar ; ; , n coordonata in lungul conturului este viteza in mișcarea potențiala la perete, iar este vascozitatea cinematica a fluidului.

Ecuatiile Prandtl [4]

In mișcarea fluidelor puțin vascoase ( mic, mare), in jurul corpurilor, un model matematic simplificat al mișcarii nu se obține neglijand termenii in uniform in tot domeniul de curgere, ci doar in afara unui strat de langa peretele corpului numit strat limita, a carui grosime locala este mult mai mica decat dimensiunea caracteristica a corpului. In interiorul acestui strat, deși coeficientul de vascozitate cinematica este mic, totuși influența vascozitații este notabila asupra mișcarii. Calcule numerice bazate pe soluții exacte simple ale ecuațiilor Navier-Stokes arata ca, pentru numere mari, efectul vascozitații nu se simte la distanțe mari de corp, unde mișcarea fluidului poate fi considerata ca satisfacand ecuațiile Euler (obținute pentru din ec. Navier-Stokes), ci doar in apropierea corpului (iar pentru configurații finite și in spatele corpului adica in dara). Prandtl face ipoteza ca in apropierea corpului forțele vascoase (disipative) au același ordin de marime cu forțele inerțiale.

Se considera mișcarea laminara bidimensionala a unui fluid real (δ, ) in jurul unei suprafețe oarecare. Numarul atașat curgerii () este mare. Campul inițial al vitezelor, considerat potențial, se modifica in jurul corpului, formandu-se stratul limita de grosime locala , care crește odata cu creșterea distanței x considerata de la bordul de atac (0). Axa OX este dirijata in lungul suprafeței , iar axa OY este orientata in lungul normalei la suprafața.

In secțiunea MY un punct oarecare de coordonate are viteza locala . Viteza locala a curentului pe frontiera stratului limita este . Neglijand forțele masice unitare (datorita grosimii mici a stratului limita comparativ cu L - dimensiunea corpului in lungul direcției de mișcare a fluidului, ), ecuațiile Navier-Stokes devin:

(**)

la care se adauga ecuația de continuitate

Ipoteze:

In stratul limita, grosimea acestuia este foarte mica in raport cu L

Lucrare: Detergenti .Sapunuri. Substante tensio-active - clasificare Lucrare: Test ARENE - chimie

(infinit de mic de ordin I);

Deplasarea unei particule de fluid dupa direcția axei OX in stratul limita se face in lungul corpului a carui lungime de referința este L. Ca urmare, ordinul de marime al variabilei este

Ordonata Y are in interiorul stratului limita domeniul de variație . In consecința, variabila are ordinul de marime

In interiorul stratului limita, componenta a vitezei locale variaza de la valoarea pe suprafața la valoarea pe frontiera stratului limita . Rezulta ca viteza are ordinul de marime

Pe baza ipotezelor de mai sus, din ecuația de continuitate, rezulta ordinul de marime a componentei a vitezei locale

Se analizeaza ordinul de marime a termenilor și

; rezulta  

ca urmare termenul se poate neglija in raport cu termenul

Impunand ca forțele de inerție F_i sa aiba același ordin de marime cu forțele disipative de frecare vascoasa F_V, rezulta pentru grosimea locaca a stratului limita relația

; unde

constranta - (Karmann)

- (Blasins)

Rezulta ca ecuațiile Navier-Stokes (**) iau forma

Din ecuația rezulta ca presiunea din interiorul stratului limita este invariabila de-a lungul normalei la conturul , fiind egala cu presiunea exercitata la nivelul frontierei stratului limita pentru un dat. In consecința, presiunea in stratul limita corespunde cu presiunea in curentul exterior, unde curgerea are caracter potențial.

Rezulta astfel ecuațiile Prandtl pentru mișcarea in stratul limita:

(***)

Condițiile inițiale sunt de forma: pentru

Condițiile la limita: pentru

pentru . Aceasta condiție reprezinta racordarea curgerii din stratul limita la mișcarea potențiala exterioara.

Viteza a curgerii potențiale exterioare este considerata ca o funcție data. Pentru determinarea presiunii se folosește ecuația Euler pentru curgerea unidimensionala a curentului exterior

Prima ecuație Prandtl devine:

Daca mișcarea este permanenta atat in stratul limita cat și in curentul interior. Iar , ecuația de mișcare in stratul limita devine

La aceasta ecuație se adauga ecuația de continuitate

Se noteaza = fluxul pe unitatea de adancime a fluidului. = constant ,

Folosind metoda singularitații [1], [2], se obțin pentru vitezele și relațiile

Pentru ca sa existe, este necesar ca cu

In aceste condiții

Pe de alta parte

Se observa ca

Daca atunci

Conform cu teorema Helmholtz . [3] unde este circulația vitezei, iar este intensitatea vartejului (

Conform cu teorema Kutta-Jakovski [3] un contur inchis (corp) plasat intr-un curent fluid caracterizat de viteza in secțiunea de la infinit, in jurul caruia apare circulația , dezvolta o forța portanta (ascensionala) (Efectul Magnus)

Mișcarea fiind permanenta, traiectoria se confunda cu linia de curent. Ecuația liniei de curent este:

Daca mișcarea are caracter turbulent, atunci și sunt considerate viteze medii:

, unde constanta Karmann,

;

Bibliografie

[1] H. Schlichting "Boundary layer theory", McGraw-Hill, New York, 1970;

[2] G. L. Abramovici "Teoria turbulenii struit", Mașchiz, Moscova, 1980;

[3] L. Landau, E. Lifchitz "Physique théoretique. Mécanique des fluides", Ed. Mir Moscou, 1989;

[4] St. N. Savulescu, H. Dumitrescu, A. Georgescu, M. Bucur "Cercetari matematice in teoria moderna a stratului limita", Ed. Acad. R.S.R., 1981.