Echilibrul rigidului supus la legaturi cu frecare

Tabelul 1

Frecarea este fenomenul complex fizico-mecanic prin care se intelege rezistenta opusa de legaturile unui solid la deplasarile acestuia, deplasari care pot fi: alunecare, rostogolire, pivotare.

Aspectul general al frecarilor in cazul reazemului simplu.

Se considera un corp care are un reazem simplu in O.  Teoretic exista un singur punct de contact, in realitate insa sub actiunea fortelor corpul considerat se deformeaza in asa fel incat contactul se realizeaza pe o mica suprafata (fig. 39a).

In fiecare punct al acestei suprafete se dezvolta o reactiune de marime si directie necunoscuta pe care o notam in general cu . Se considera punctul teoretic de contact (in care ar fi avut loc contactul celor doua corpuri daca ele nu s-ar fi deformat). Torsorul in O al fortelor de legatura aplicate in A_i este alcatuit din:

Reducand sistemul de forte si de reactiuni in punctul O, (fig. 39b) se obtin in cazul echilibrului, ecuatiile:

Proiectand relatiile (148) pe normala la suprafata de contact si pe planul tangent la aceasta suprafata se obtine:

In baza teoremei de echivalenta rezulta ca sistemul de forte este echivalent cu doua forte si aplicate in O si doua cupluri de momente si iar sistemul de reactiuni este echivalent cu doua forte si aplicate deasemenea in O si cu doua cupluri de momente si .

Forta tinde sa deplaseze corpul in directia normala la suprafata de contact, deplasare impiedicata de reactiunea normala .

Forta tinde sa deplaseze corpul in planul tangent la suprafata de sprijin, aceasta deplasare poarta numele de alunecare si este impiedicata de reactiunea care poarta numele de forta de frecare de alunecare.

Cuplul de moment are tendinta de a roti corpul in jurul normalei la suprafata de contact, o asemenea rotatie poarta numele de pivotare si este impiedicata de cuplul de moment , numit cuplu de frecare de pivotare.

Cuplul de moment are tendinta de a roti corpul in jurul unei axe din planul tangent la suprafata de contact. O asemenea rotatie poarta numele de rostogolire si este impiedicata de cuplul de moment , denumit cuplu de frecare de rostogolire.

In cele ce urmeaza se vor analiza detailat fiecare din tipurile de frecare.

2) Frecarea de alunecare

Consideram un solid (S) aflat pe o suprafata plana. Atunci cand asupra solidului actioneaza numai greutatea acestuia, ei i se opune reactiunea normala . Cand asupra solidului actioneaza si o forta orizontala pentru a se mentine echilibrul este necesar ca rezultanta fortelor de legatura sa fie egala si direct opusa cu rezultanta fortelor active :

Se noteaza cu a unghiul format de rezultanta fortelor de legatura cu suportul reactiunii normale (unghi de aderenta). Ecuatia de echilibru (150), poate fi scrisa scalar:

sau

Marind forta se observa ca solidul ramane in repaus pana la o valoare limita a acesteia (fig. 40b). Forta limita corespunde unei stari limita pentru care . Starea limita de echilibru la alunecare este starea mecanica caracterizata prin echilibrul sistemului de forte aplicate si de legatura si de iminenta alunecarii.

sau

unde este coeficientul de frecare de alunecare.

Dintre experientele facute asupra fortelor de frecare de alunecare se remarca cele facute de Coulomb, care au condus la legile frecarii uscate:

marimea fortei de frecare de alunecare maxima este direct proportionala cu marimea reactiunii normale;

marimea fortei de frecare de alunecare depinde de natura si starea corpurilor in contact;

marimea fortei de frecare de alunecare nu depinde de viteza relativa de deplasare a celor doua corpuri si nici de marimea suprafetelor in contact.

Pe baza acestor legi, forta de frecare de alunecare are expresia:

Observatii asupra legilor lui Coulomb:

a)   Forta de frecare de alunecare nu este preexistenta tendintei de alunecare (forta )

b)  Forta de frecare de alunecare ia valori cuprinse intre zero si o valoare maxima .

c)   Forta de frecare de alunecare are directia tendintei de alunecare si sens invers acesteia.

Rotind suportul fortei limita intr-un plan perpendicular pe suportul greutatii in punctul P, unghiul j pastandu-se constant, suportul reactiunii maxime va descrie suprafata unui con numit con de frecare, conditia de echilibru fiind in acest caz ca rezultanta fortelor active sa se gaseasca in interiorul sau pe generatoarea conului de frecare.

3) Frecarea de rostogolire

La inceputul acestui subcapitol s-a aratat ca frecarea de rostogolire se manifesta printr-un cuplu de moment Se considera exemplul concret al unei roti trase.

Sa presupunem ca se realizeza contactul intre roata si planul orizontal intr-un singur punct (fig: 41a). Necesitatea de a se tine seama rezulta imediat, deoarece ramanand la ipoteza unui contact punctual in A, in acest punct nu se pot introduce decat reactiunea normala N si forta de frecare T, iar ecuatiile de echilibru devin:

Din ultima relatie rezulta F=0, rezultat care contrazice experienta care arata ca roata poate ramane in repaus chiar daca asupra ei actioneaza o forta F orizontala, cu conditia insa ca modulul acestei forte sa nu depaseasca o anumita limita. Din cauza deformabilitatii contactul intre roata si calea de rulare se face pe o mica suprafata (fig. 41b), pe care apar reactiuni normale si reactiuni tangentiale (datorate frecarii de alunecare). Suportul rezultantei a reactiunilor normale se afla in general la o distanta e de punctul teoretic de contact  A. In timp ce suportul rezultantei al reactiunilor poate fi considerat cu o foarte buna aproximatie ca trece prin A. Daca in punctul A se introduc doua forte egale si direct opuse, avand modulul N (fig. 41c), se observa ca fortele de legatura sunt echivalente cu fortele si aplicate in A (ca si cum nu ar exista deformatii) si cu un cuplu de frecare de rostogolire de moment M_r=Ne (fig. 41d). Scriind ecuatiile de echilibru in aceasta situatie se obtine:

Lucrare: Acid acetic, formic, propionic, palmitic - formule la chimie Eseu: Modificari biochimice produse de tratamente chimice cu fungicide

Deoarece echilibrul nu are loc decat pentru valori limitate ale modulului fortei F, rezulta ca si deci momentul M_r este limitat. Cum insa M_r=Ne si N=G, rezulta ca, de fapt distanta e este limitata. Daca se noteaza e_max=s, rezulta ca pentru echilibru este mecesar sa avem:

Prin analogie cu frecarea de alunecare, marimea s s-a numit coeficient de frecare de rostogolire si reprezinta distanta maxima cu care se deplaseaza paralel cu el insusi suportul reactiunii normale N  fata de punctul teoretic de contact A. Coeficientul de frecare de rostogolire are dimensiunea unei lungimi, valoarea sa depinzand in special de raza rotii si natura materialului. In problemele de frecare de rostogolire intervin atat cuplul de frecare de rostogolire cat si forta de frecare de alunecare, de aceea este necesar atunci cand se scriu conditiile de echilibru, pe langa inegalitate (159) sa se tina seama si de inegalitatea (156) cunoscuta de la frecarea de alunecare.

4) Frecarea de pivotare

Asa cum s-a aratat la inceputul acestui subcapitol frecarea de pivotare se manifesta printr-un cuplu de moment M_p.

Se considera un arbore vertical de sectiune transversala inelara ce se sprijina intr-un lagar. Daca se presupune coeficientul de frecare de alunecare intre arbore si lagar, acelasi intre toate punctele de contact, iar presiunea p aceiasi pe toata suprafata de rezemare (fig. 42), si notand cu R si r cele doua raze ale coroanei circulare iar cu N reactiunea normala totala, rezulta presiunea:

Reactiunea normala pe elementul de arie dA este pdA, iar forta de frecare corespunzatoare, tangenta la un cerc de raza r si dirijata in sens invers sensului de miscare va fi Momentul dat de aceasta forta elementara de frecare in raport cu centrul O va fi Momentul cuplului de frecare de pivotare va fi suma acestor momente elementare adica, folosind coordonatele polare , vom avea succesiv:

Inlocuind presiunea p cu expresia (161), rezulta momentul cuplului de frecare de pivotare sub forma:

In cazul sectiunii circulare facand r=0 in formula de mai sus, se obtine expresia:

5) Frecarea in articulatii si lagare

In afara cazurilor de frecare studiate pana aici, in tehnica mai sunt intalnite si alte cazuri importante cand intervine frecarea. Un astfel de caz il constituie frecarea ce apare in articulatii sau lagare. Se va studia numai frecarea uscata introducerea lubrifiantilor schimband esential problema. Se considera cazul lagarului cu joc, contactul avand loc teoretic numai intr-un punct A (fig. 43).

Torsorul fortelor exterioare in O (pe axa) arborelului este alcatuit din si Vectorul fiind dirijat dupa axa arborelui are tendinta sa imprime arborelului o miscare de rotatie. Actiunii momentului i se opune momentul de frecare din lagar . In punctul A are loc de fapt loc un fenomen de frecare de alunecare si unul de rostogolire. Torsorul fortelor de legatura este alcatuit din reactiunea normala , forta de frecare de alunecare si momentul de frecare de rostogolire Notand cu r raza fusului se obtin ecuatiile de echilibru:

Din relatia (164) se obtin: T=Fsina N=Fcosa M_r=M_O-Frsina care introduse in (165), conduc la conditiile de echilbru:

Pentru o buna functionare a masinilor se urmareste ca frecarea in lagare sa fie mica, adica are valori mici. In cazul echilibrului la limita, .

Unghiul a fiind mic se pot face aproximatiile:

Cu ajutorul relatiilor (167) se obtine din (166)

Notand acum coeficientul de frecare in lagar:

se obtine

Conform principiului actiunii si reactiunii momentul de frecare din articulatie (lagar) este egal si direct opus lui . Analog forta este egala si direct opusa lui care se stie ca se descompune in plan in doua componente H si V si in spatiu in trei componente R_x, R_y, R_z. Tinand seama de acestea se obtin expresiile momentului de frecare in articulatii:

in articulan articulatii si lagare cilindrice

in articulatii sferice

In cazul lagarului fara joc se obtin rezultate asemanatoare, pentru calculului momentului de frecare, utilizadu-se tot formulele (171) si (172).

6) Frecarea firelor

Un alt caz de frecare important in tehnica il constituie frecarea firelor. Aceasta frecare apare atat in cazul cand roata pe care este infasurat firul este fixa si firul are tendinta de miscare cat si in cazul cand firul este fix si roata are tendinta de miscare. In studiul firelor se face ipoteza ca acestea sunt flexibile, inextensibile si de greutate neglijabila

Se considera in (fig. 44) un fir care vine in contact cu un disc fix pe arcul MN avand unghiul la centru q (masurat in radiani). Firul este actionat la capete de fortele T_R si T_M care sunt diferite (T_R < T_M cand tendinta de miscare este de la R la M) deoarece exista frecare intre fir si disc. Coeficientul de frecare de alunecare este . Se studiaza echilibrul arcului elementar carui ii corespunde unghiul la centru dq si care este actionat de tensiunile T si T+dT, de reactiunea normala N si de forta de frecare de alunecare care are valoarea limita . Ecuatiile de echilibru pentru cazul limita cand forta de frecare de alunecare are valoare maxima sunt:

Fiind unghiuri mici se poate face aproximarea:

si rezulta

Termenul este neglijabil in comparatie cu ceilalti termeni si in consecinta se obtine sistemul de ecuatii:

Din (150) se obtine o ecuatie diferentiala cu variabile separabile, care conduce la:

de unde se deduce pentru cazul limita studiat:

unde e=2,71828. De aici rezulta formula lui Euler pentru frecarea firelor:

.

17 Aplicatii

Aplicatia 1

Un corp de greutate P este legat prin intermediul unui cablu de inelul M de masa neglijabila (fig. 45) de inel se leaga cablurile AM  si BM fixate in peretii verticali in punctele A si B. Sa se determine fortele care se aplica cablurilor AM si BM.

Rezolvare

In punctul M actiunea corpului de greutate se reprezinta prin vectorul . Descompunem forta conform regulii paralelogramului, pe directiile AM si BM. Se obtin fortele aplicate celor doua cabluri si care au directiile si sensurile cunoscute. Pentru a obtine marimile lor se aplica teorema sinusului in unul din triunghiurile care se formeaza cu cele trei forte, avand in vedere si faptul ca

(a)             

iar din relatia de mai sus va rezulta:

(b)             

Aplicatia 2

Greutatea este sustinuta prin sistemul de cabluri AM, BM si bara CM (fig. 46a). Bara se prinde in peretele vertical astfel incat in lipsa legaturii comune in punctul M cade orientandu-se vertical, reactionand prin urmare numai pe directia CM. Sa se determine fortele aplicate in M cablurilor si barei.

Rezolvare

Forta se descompune mai intai pe directiile MC si MC₁ (fig. 46b). Se obtin:

(a)  si

Se descompune apoi forta R₁₂ pe directiile MA si MB (fig. 46c). Se obtin:

(b) 

O alta solutie este cea analitica, pentru aceasta se alege sistemul de axe xMyz (ca in fig. 46a). Relatia de echilibru va fi urmatoarea:

(c)             

Proiectand pe axe relatia de mai sus rezulta

(d)             

Din rezolvarea sistemului (d) se obtine:

(e)             

si

(f)             

Aplicatia 3

Sistemul de forte din figura 47 actioneaza asupra unui cub de latura a, stiind ca

si ca: se cere:

a)   Sa se calculeze momentele fortelor in raport cu punctul O;

b)  Cu ce este echivalent sistemul format din fortele:

c)   Cu ce este echivalent sistemul format din fortele:

d)  Cu ce este echivalent sistemul format din fortele:

e)   Cu ce este echivalent sistemul format din fortele:

f)   Cu ce este echivalent sistemul format din fortele:

Rezolvare

a)   Notand cu momentul fortei in raport cu punctul O avem:

b)  Torsorul de reducere in punctul O  este:

Deci sistemul de forte paralele este echivalent cu zero.

c) Torsorul de reducere in punctul O  este:

Sistemul de forte coplanare este deci echivalent cu un cuplu de moment 2aP, situat intr-un plan perpendicular pe axa Oy. El poate fi considerat ca un sistem de cupluri format din cuplurile si fiecare dintre cuplurile componente avand momentul cuplul rezultant are momentul

d) Torsorul de reducere in punctul O  este:

Trinomul invariant este nul. Sistemul este deci echivalent cu o forta unica situata pe axa centrala. Deoarece axa centrala trece prin punctul O si fiind paralela cu rezultanta, rezulta ca axa centrala este axa Oz. Sistemul de forte coplanare se poate deci inlocui cu o forta unica avand ca suport axa Oz.

e) Torsorul de reducere in punctul O  este:

Trinomul invariant Sistemul de forte coplanare este deci echivalent cu o forta unica avand ca suport axa centrala. Ecuatiile axei centrale vor fi in acest caz:

si rezulta: x=2a; y=0.

f) Torsorul de reducere in punctul O  este:

Trinomul invariant Axa centrala a sistemului va fi:

adica dreapta de ecuatii y=0; z=-a, paralela cu axa Ox.

Sistemul de forte este deci echivalent cu o forta egala cu rezultanta aplicata pe axa centrala si un cuplu de moment colinear cu rezultanta.

Aplicatia 4

O placa plana este formata din semicercul 1 de raza R si dreptunghiul 2 cu baza egala cu diametrul semicercului, de inaltime h. (fig. 48). Care trebuie sa fie valoarea raportului pentru ca centrul maselor intregii placi sa coincida cu centrul semicercului O.

Rezolvare:

Placa fiind simetrica fata de axa Oy, centrul maselor se afla pe aceasta axa, adica x_C=0. Pentru ca centrul maselor sa se gaseasca in punctul O, va trebui ca y_C=0, adica

(a) 

Din ecuatia de mai sus rezulta ca

(b)             

Aplicatia 5

O scandura patrata ABCD, de greutate este atarnata de firul BE; cu varful A ea se sprijina pe un perete neted, fix si vertical EA (fig. 49). Sa se determine reactiunea peretelui in punctul A, tensiunea T a firului si unghiul j, daca AB=BE=a..

Rezolvare

Eliberand placa de legaturi si alegand sistemul de referinta ca in figura se obtin urmatoarele ecuatii scalare de echilibru:

(a) 

(b) 

(c)             

de unde rezulta

(d)             

iar tensiunea din fir si reactiunea normala a planului vor fi:

(e)             

Aplicatia 6

O bara simplu rezemata AB de lungime l si greutate neglijabila este actionata asa cum se arata in fig. 50. Dandu-se P, p, q, M, a, b, c sa se determine reactiunile din reazeme. Aplicatie numerica: P=98,1 KN, p=19,62 KN/m, q=15,6 KN/m, a=1m, b=1,5m, c=1,6m, l=4m, iar pentru momentul M se vor considera doua valori:        M₁=98,1 KNm si M₂=294,3 KNm.

Rezolvare

Sarcina uniform distribuita p poate fi inlocuita cu forta P₁=pa, aplicata in centrul fortelor paralele la distan paralele la distanta a/2 de reazemul A.

Sarcina liniar distribuita poate fi inlocuita cu forta rezultanta P₂=(1/2)qb aplicata in centrul fortelor paralele la distanta  (2/3)b de reazemul B.

Ecuatiile scalare de echilibru vor fi:

(a)             

(b)             

Rezolvand sistemul se obtine:

(c)             

Efectuand inlocuirile numerice in primul caz gasim:

(d)              N_A=103,49 N ; N_B=25,99 N

iar in al doilea:

(e)              N_A=152,54 N ; N_B= -23,05 N

Cum N_B< , conditia ca N_B sa fie pozitiva nu este indeplinita si grinda se ridica de pe reazemul B ( in afara de cazul cand in B legatura este bilaterala

Aplicatia 7

Pentru a initia miscarea de rotatie in jurul axei verticale (fig. 51), este necesar un cuplu de moment 750 Ncm. Sa se determine coeficientul de frecare de pivotare.

Rezolvare

Corpul de greutate G=750Nm este in stare de echilibru la limita. Sub actiunea cuplului M=750Ncm, miscarea de rotatie a acestui corp, in jurul axei verticale, este inerenta. Actiunea cuplului M este echilibrata de momentul de frecare de pivotare M_p. Avem asadar M= M_p. In cazul echilibrului la limita, momentul de frecare de pivotare fiind dat de relatia:

(a) 

rezulta ca coeficientul de frecare de pivotare este egal cu:

(b)             

Aplicatia 8

O franghie care cantareste 1 kg/m, se infasoara de 2,5 ori inprejurul unei bare orizontale (fig 52). Ce lungime x de franghie va trebui lasata atarnand, daca are de sustinut o sarcina de 50 Kg ? Coeficientul de frecare dintre franghie si bara este

Rezolvare

Reprezentam actiunea portiunilor de franghie care atarna si a greutatii prin fortele si Pentru echilibru este necesar ca intre marimile te

nsiunilorsi sa existe urmatorul raport:

(a) 

Tinand acum seama ca: T₁=xgN, T₂=2,5g+50g=52,5g N si unghiul de infasurare q p, obtinem:

(b) 

de unde rezulta valoarea marimii cerute x

(c) 

Aplicatia 9 (Roata trasa

Se considera roata trasa a unui vehicul (fig. 53). Se presupune ca tendinta de alunecare este in sens ascendent, iar tendinta de rostogolire in sens orar. Se cere sa se studieze echilibrul rotii.

Rezolvare

Reactiunile N, T  si M_r au sensurile indicate in figura, iar conditiile de echilibru sunt

(a)             

La acestea se adauga si cele doua inecuatii ale frecarii:

(b) 

Din primele trei relatii rezulta

(c) 

care introduse in inegalitatile (b), conduc la conditiile de echilibru:

(d)             

sau inca explicitand in functie de F:

(e)             

De fapt numai una dintre aceste doua conditii este hotaratoare si anume cea mai mica. Astfel pentru:

conditia a doua este hotaratoare si roata se va pune in miscare cand F depaseste aceasta limita prin rostogolire,

prima conditie este hotaratoare si roata se va pune in miscare prin alunecare cand F  depaseste aceasta limita

Aplicatia 10 (Roata Motoare)

Se considera roata motoare a unui autovehicul actionata de greutatea G forta motoare F  si cuplul motor de moment M (fig. 54). Se cere sa se studieze echilibrul rotii.

Rezolvare

Reactiunile N, T  si M_r au sensurile indicate in figura, iar conditiile de echilibru sunt

(a) 

La acestea se adauga si cele doua inecuatii ale frecarii:

(b) 

Din primele trei relatii rezulta

(c) 

care introduse in inegalitatile (b), conduc la conditiile de echilibru:

(d)             

sau inca explicitand prima inegalitate in functie de F si a doua in functie de M:

(e)             

Din a doua inegalitate rezulta valoarea minima necesara momentului cuplului motor pentru ca sa fie posibila miscarea. Din prima inegalitate rezulta

(f)             

care da valoarea minima a coeficientului de frecare. Daca este mai mic decat aceasta valoare minima, tractiunea nu este posibila oricat de mare ar fi valoarea cuplului motor. Astfel o locomotiva oricat de puternica ar fi nu poate remorca un tren daca intre roti si sine coeficientul de frecare este prea mic. Un fenomen analog are loc in timpul iernii in cazul unui automobil cand rotile sale motoare aflandu-se in contact cu zapada inghetata, se invartesc pe loc fara ca automobilul sa se poata deplasa din cauza coeficientului de frecare foarte mic.