Modele matematice de pozitionare GPS

Modele matematice de pozitionare GPS

1 Pozitionarea absoluta

1.1 Pozitionarea absoluta cu ajutorul cod-distantelor

Conform ecuatiei (6.2), cod-pseudodistantele pot fi modelate la o epoca t cu relatia

, (1)

in care este cod-pseudodistanta masurata intre punctul de observatie i si satelitul j, este distanta geometrica intre satelit si punctul de observatie iar c este viteza luminii. este corectia de ceas si reprezinta diferentele dintre ceasul satelitului si ceasul receptorului, raportate la timpul GPS, conform relatiei (6.1).

In ecuatia (1), coordonatele punctului ce urmeaza a fi determinat sunt continute in distanta , care poate fi explicitata astfel:

(2)

, , sunt componentele vectorului de pozitie geocentrica a satelitului la epoca t iar sunt cele trei coordonate necunoscute ECEF ale punctului de statie.

Eroarea de ceas trebuie investigata mai in detaliu. Pentru inceput consideram o singura epoca; receptorul va ocupa o singura pozitie i. Fiecare satelit contribuie cu o eroare de ceas necunoscuta, identificata prin indicele superior j, in cadrul erorii de ceas . Considerand, pentru moment, semnalul de ceas al punctului i, ecuatia de pseudodistanta pentru primul satelit va avea patru necunoscute (trei coordonate ale statiei si o eroare de ceas al satelitului). Fiecare satelit in plus aduce cu sine o ecuatie cu aceleasi coordonate ale statiei dar cu o noua eroare de ceas al satelitului. Rezulta ca indiferent de numarul satelitilor observati la o anumita epoca, numarul necunoscutelor va fi mai mare decat cel al ecuatiilor. Daca se considera o noua epoca, semnalul de ceas al satelitului trebuie sa fie modelat din nou, datorita driftului de ceas. Informatia despre ceasul satelitului este cunoscuta si transmisa prin mesajul de navigatie, sub forma a trei coeficienti polinomiali a₀, a₁, a₂, referiti la momentul t₀. Ecuatia

(3)

permite calculul corectiei de ceas al satelitului pentru epoca t. Ar fi de remarcat ca polinomul (3) elimina doar cea mai pare parte a erorii de ceas al satelitului.

Termenul combinat poate fi descompus in doua parti

, (4)

in care reprezinta partea referitoare la satelit, cunoscuta din (3), iar este termenul referitor la ceasul receptorului si ramane in continuare necunoscut. Inlocuind (4) in (1) rezulta

, (5)

care este ecuatia ce va fi investigata cu privire la numarul de necunoscute. Considerand o singura epoca t, exista patru necunoscute (trei coordonate ale statiei si eroarea de ceas al receptorului). Cele patru necunoscute pot fi calculate numai daca sunt observati simultan patru sateliti.

Ecuatia (5) poate fi studiata si pentru un caz general. Notand numarul satelitilor prin n_j, si numarul epocilor prin n_t, atunci se pot scrie n_j.n_t ecuatii de observatii. Pentru a obtine o solutie unica, numarul de ecuatii trebuie sa fie mai mare decat numarul necunoscutelor. Rearanjand (5) prin trecerea corectiei de ceas al satelitului (calculabila in prealabil) in partea stanga a ecuatiei, se poate scrie imediat si relatia ecuatii-necunoscute:

(6)

Relatia ecuatii-necunoscute da indicatii asupra numarului de observatii ce trebuie efectuate pentru asigurarea determinarilor. Atunci cand receptorul este mobil (cazul determinarilor cinematice, definite la punctul 7.1.1), pozitia sa trebuie determinata instantaneu (n_t=1); punand n_t=1, rezulta imediat n_j 4, deci este necesara observarea simultana a minimum 4 sateliti.

Pentru determinarile statice unde receptorul i este stationar pe durata observatiilor, situatia difera nesemnificativ. In acest caz, in principiu, observarea simultana a patru sateliti nu este necesara. Daca in (6) se pune n_j=2, rezulta n_t 3 deci observarea simultana a doi sateliti la trei epoci ar fi teoretic suficienta. In practica, uneori, aceasta situatie poate da rezultate gresite sau calculul poate fi eronat datorita faptului ca sistemul este rau conditionat (cand epocile difera foarte mult, de exemplu ore). Asemenea situatii pot sa apara foarte rar (posibil totusi in orase) si se rezolva prin observarea simultana si a altor doi sateliti, tot la trei momente.

1.2 Pozitionarea absoluta pe baza fazei purtatoarei

Conform ecuatiei (6.9), modelul matematic pentru aceste masuratori este:

. (7)

Aici, este masuratoarea fazei purtatoarei, exprimata in cicli,  este lungimea de unda si este asemanator ca la modelul cod-distantelor. Ambiguitatea fazei (independenta de timp) este un numar intreg, numit deseori ambiguitate intreaga sau necunoscuta intreaga iar este frecventa semnalului satelitului, in cicli pe secunda.

Introducand (4) in (7), modelul matematic devine:

. (8)

Eroarea de ceas al satelitului este considerata din nou ca fiind necunoscuta, conform ecuatiei (3). Pentru o singura statie i, n_j sateliti si n_t epoci, exista n_j.n_t masuratori posibile. Procedand ca la punctul 1.1, rearanjam (8) si scriem relatia ecuatii-necunoscute:

(9)

Rezolvarea pentru o singura epoca (n_t=1) este posibila doar cand cele n_j ambiguitati intregi nu sunt luate in considerare (sunt determinate in prealabil). In acest caz, modelul distantei din faza este echivalent cu modelul cod-distantei si rezulta n_j 4. Aceasta inseamna ca utilizarea acestei metode la determinarile cinematice este conditionata de rezolvarea prealabila a ambiguitatilor intregi pentru toti satelitii observati (prin observatii statice).

La observatiile statice, ambiguitatile pot fi determinate, numarul minim de sateliti fiind, teoretic, n_j=2 (rezulta un minimum de n_t=5 epoci de observare). Practic, la configuratia nominala a sistemului de sateliti, oricand si oriunde n_j=4, deci numarul necesar de epoci este n_t>=3.

1.3 Pozitionarea absoluta cu date Doppler

Conform ecuatiei (6.10), modelul matematic pentru datele Doppler este

(10)

si poate fi considerat ca derivata in raport cu timpul a cod-distantei sau a distantei din faza. In aceasta ecuatie, sunt observatiile Doppler scalate la valoarea distantei, este viteza radiala instantanee intre satelit si receptor iar  este derivata in raport cu timpul a corectiei de ceas (combinata pentru satelit si receptor).

Viteza radiala pentru receptorul stationar, conform ecuatiei (4.48),

, (11)

stabileste legatura dintre vectorul de pozitie necunoscut al receptorului, vectorul de pozitie instantanee a satelitului si vectorul viteza al satelitului. Ultimii doi vectori pot fi calculati din efemerida satelitului. Contributia ceasului satelitului la  este data prin

(12)

si este cunoscuta. Concluzionand, o ecuatie de observatie de forma (10) contine patru necunoscute (cele trei coordonate ale receptorului si driftul de ceas . Din acest motiv, comparativ cu modelul cod-distantei, ecuatiile Doppler contin driftul de ceas al receptorului in locul offsetului de ceas al receptorului. Pozitionarea absoluta statica este deci posibila.

Conceptul de pozitionare absoluta statica prin utilizarea combinata a cod-pseudodistantelor si datelor Doppler a aparut in 1989. In acest caz, avem in total cinci necunoscute (trei coordonate ale statiei, offsetul de ceas al receptorului si driftul de ceas al receptorului). Fiecare satelit aduce doua ecuatii (una de cod-pseudodistanta si una Doppler), deci trei sateliti sunt suficienti pentru a determina cele cinci necunoscute. Se poate demonstra ca intre cele doua tipuri de ecuatii nu exista dependenta liniara.

2 Pozitionarea relativa

Obiectivul pozitionarii relative este determinarea coordonatelor unui punct necunoscut relativ la un punct cunoscut, de regula stationar. Cu alte cuvinte, pozitionarea relativa urmareste determinarea vectorului intre doua puncte, numit deseori 'baza geodezica' sau mai scurt 'baza'. In figura 1, A reprezinta punctul de referinta (cunoscut), B punctul necunoscut si b_AB vectorul bazei. Introducand vectorii de pozitie geocentrica a punctelor A si B, notati X_A respectiv X_B, poate fi scrisa relatia vectoriala

X_B = X_A + b_AB (13)

din care poate fi separat vectorul bazei:

. (14)

Modelele matematice pentru cod-distante si distante deduse din faza, date de ecuatiile (6) si respectiv (9), pot fi aplicate analog, singura diferenta constand in includerea coordonatelor punctului de referinta drept marimi cunoscute. Aceste coordonate trebuie sa fie date in sistemul WGS-84 si in mod uzual se obtin printr-o determinare statica pe baza cod-distantelor. Evident, valorile obtinute sunt aproximative dar o precizie de circa 50 m este suficienta pentru toate scopurile practice.

Proiect: Lucrare de licenta marketing si afaceri economice internationale - dezvolatrea mixului de marketing in cadrul companiei sc.petrom. sa Proiect: Modelul comunicarii in negocieri - modelul structural

Pozitionarea relativa nu impune in mod necesar executarea de observatii simultane din cele doua capete ale bazei dar o precizie acceptabila in geodezie se poate obtine numai prin observatii simultane, asupra acelorasi sateliti. Considerand ca din punctele A si B au fost observati simultan satelitii j si k, pot fi formate diferente simple, duble si triple ale fazelor masurate. Toate programele de postprocesare a datelor utilizeaza aceste diferente, a caror modelare matematica este prezentata in continuare.

2.1 Diferente de faza

Diferente simple Consideram doua puncte si un satelit.

Figura 1. Pozitionarea relativa

Notand punctele prin A si B si satelitul prin j, conform relatiei (9), ecuatiile fazei pentru cele doua puncte sunt

(15)

Scazand prima ecuatie din cea de-a doua obtinem

, (16)

relatie ce constituie ecuatia diferentei simple. Necunoscutele se afla in membrul drept. Incercarea de rezolvare a unui sistem de astfel de ecuatii ar pune in evidenta o deficienta de rang. Acest lucru este usor de intuit deoarece in matricea coeficientilor, intre coloanele corespunzatoare necunoscutelor intregi si erorilor de ceas ale celor doua receptoare exista dependenta liniara. Deficienta de rang poate fi eliminata introducand notatiile

(17)

Utilizand (pentru simplificarea exprimarii) si notatiile

(18)

si inlocuind (17) si (18) in (16) obtinem

, (19)

care constituie forma finala a ecuatiei diferentei simple. Comparata cu ecuatia determinarilor din faza purtatoarei (9), se observa ca a disparut termenul corespunzator erorii de ceas al satelitului. Avantajul nu este consistent deoarece aceasta eroare poate fi eliminata in mare masura prin modelarea polinomiala pe baza coeficientilor transmisi prin mesajul de navigatie.

Diferente duble Considerand ca din punctele A si B au fost observati simultan satelitii i si k, in conformitate cu ecuatia (19) pot fi formate doua diferente simple:

(20)

Pentru a obtine o diferenta dubla, cele doua diferente simple sunt scazute. Avand in vedere calitatea generatoarelor de frecventa amplasate pe sateliti, se poate face aproximatia , deci rezultatul este:

. (21)

Introducand ca si pentru diferentele simple unele notatii, forma finala a ecuatiei diferentei duble este:

. (22)

In diferenta dubla nu mai apare termenul corespunzator erorilor de ceas ale celor doua receptoare. Aceasta eliminare a rezultat din presupunerea simultaneitatii observatiilor si din aproximarea facuta asupra egalitatii frecventelor semnalelor satelitilor.

Se poate introduce notatia simbolica

, (23)

unde asteriscul poate fi inlocuit prin , N. De retinut ca, din cauza relatiilor (17) si (18), termenii incluzand doi indici inferiori si doi indici superiori sunt compusi de fapt din patru termeni. Simbolic, aspectul lor este:

. (24)

Explicit, termenii care intervin in ecuatia diferentei duble sunt:

(25)

Diferente triple Diferentele simple si duble se formeaza pentru observatiile executate simultan din cele doua puncte la epoca t. Pentru a elimina ambiguitatile independente de timp (corespunzatoare momentului in care incepe integrarea frecventei), se poate efectua scaderea diferentelor duble aferente observarii simultane din A si B a doi sateliti, la doua epoci. Notand cele doua epoci prin t₁ si t₂, atunci diferentele duble scrise conform (22) sunt:

(26)

Prin scaderea lor se obtine expresia diferentei triple

, (27)

care poate fi scrisa in forma simplificata

(28)

Notatiile facute sunt exprimate simbolic prin

(29)

unde asteriscul poate fi inlocuit cu  si . Marimile si sunt compuse din cate opt termeni si pot fi explicitate in baza relatiilor (27) si (25):

(30)

. (31)

O simpla inspectare a aspectului ecuatiei diferentei triple permite constatarea ca ambiguitatile intregi sunt eliminate. De aici decurge marele avantaj al prelucrarii datelor de observatie cu diferente triple: imunitatea la alunecarile de cicli (acest aspect va fi tratat la punctul 9.1.2). Drept avantaj poate fi retinut si micsorarea numarului necunoscutelor in sistemul format.

2.2 Corelatiile combinatiilor de faza

In general, sunt doua grupe de corelatii: fizice si matematice. La observarea simultana (la momentul t) efectuata din cele doua puncte, marimile si sunt corelate fizic pentru ca ele se refera la acelasi satelit. In mod uzual, corelatiile fizice nu sunt luate in considerare. Interesul principal este indreptat catre corelatiile matematice ce pot sa apara prin efectuarea diferentelor.

Putem face presupunerea ca erorile de masurare a fazei au un caracter aleator deci au o distributie normala cu valoarea asteptata zero si distributia ². Fazele masurate sunt deci liniar independente sau necorelate. Introducand un vector  ce contine fazele, atunci

(32)

este matricea de covarianta pentru faze (I este matricea unitate).

Corelatia diferentelor simple Considerand doua puncte A,B si satelitul j observat simultan la epoca t putem forma diferenta simpla

. (33)

Formand si diferenta simpla pentru aceleasi doua puncte, acelasi moment de observare dar a unui alt satelit k , rezulta

. (34)

Cele doua diferente simple formeaza un sistem care poate fi scris matriceal

, (35)

unde

. (36)

Legea covariantei, aplicata ecuatiei (35), da

(37)

si tinand cont de (32) obtinem

, (38)

care este expresia pentru covarianta diferentei simple. In baza exprimarii explicite a matricii coeficientilor (36), avem

, (39)

care poate fi inlocuita in (38) conducand la

. (40)

Aceasta expresie arata ca diferentele simple sunt necorelate. De retinut ca dimensiunea matricei unitate din (40) este numarul de diferente simple ce se formeaza la epoca t iar factorul 2 nu depinde de numarul diferentelor simple.

Corelatiile diferentelor duble Pentru a forma doua diferente duble, consideram trei sateliti j,k,l, cu j considerat satelit de referinta. Pentru cele doua puncte A,B si epoca t, diferentele duble exprimate in functie de diferentele simple sunt:

(41)

Acest sistem de ecuatii poate fi scris in forma matriceala

DD = C DS , (42)

unde

. (43)

Matricea de covarianta pentru diferentele duble va fi

cov(DD) = C cov(DS) C^T (44)

si inlocuind (40) rezulta

, (45)

sau, explicit, utilizand C din (43):

. (46)

Se observa ca diferentele duble sunt corelate. Matricea ponderilor (matricea de corelatie) P(t) este obtinuta prin inversarea matricei de covarianta. Pentru cazul studiat, cu doua diferente duble, se obtine:

. (47)

In general, daca n_DD este numarul de diferente duble formate pentru epoca t, matricea de corelatie este de dimensiunea n_DD x n_DD si are aspectul

. (48)

Pentru o mai buna intelegere, consideram patru diferente duble formate din observarea a cinci sateliti, la aceeasi epoca. In acest caz, matricea de corelatie este o matrice 4 x 4:

. (49)

Pentru epocile t₁,t₂, matricea de corelatie devine o matrice bloc-diagonala

, (50)

in care fiecare element al matricei este el insusi o matrice. Matricele P(t₁),P(t₂), nu trebuie sa aiba in mod necesar aceeasi dimensiune pentru ca, pentru epoci diferite, se por forma numere diferite de diferente duble.

Corelatiile diferentelor triple Studierea corelatiilor diferentelor triple este putin mai complicata pentru ca trebuie considerate mai multe cazuri diferite. Covarianta unei singure diferente triple poate fi calculata aplicand expresiei sale (in functie de diferentele simple ca in relatia (51), dedusa din (30) si (33) ) legea propagarii covariantei.

(51)

Pentru doua diferente triple formate pentru aeleasi doua epoci t₁ si t₂, consideram ca un satelit este comun. Notand satelitii cu j,k,l (j este comun), prima diferenta tripla (pentru j,k) este data de ecuatia (51). Expresia pentru a doua diferenta tripla (pentru satelitii j,l) se obtine analog si avem:

(52)

Introducand notatiile

, (53)

sistemul (52) poate fi scris matriceal sub forma

DT = C DS . (54)

Covarianta diferentelor triple este

cov(DT ) = C cov(DS ) C^T (55)

sau, tinand cont de (40):

. (56)

Calculand CC^T cu (53) rezulta

, (57)

relatie care arata ca cele doua diferente triple sunt corelate.

Generarea matricelor care apar in (53) poate fi simplificata prin scrierea urmatorului tabel simbolic:

Numele punctelor A,B au fost omise. Se poate vedea ca diferenta tripla DT^jk(t₁₂) este compusa din doua diferente simple (cu semnul corespunzator din tabel) pentru satelitii j si k la epoca t₁ si doua diferente simple pentru acelasi satelit dar la epoca t₂. Acelasi lucru este valabil pentru diferenta tripla DT^jl(t₁₂). Astfel, coeficientii care apar in (58) sunt aceiasi cu cei ai matricei C din (53). Aceasta metodologie poate fi aplicata cu usurinta pentru deducerea matricelor de corelatie pentru oricare doua diferente triple. Urmatoarea diagrama prezinta doua corelatii ale diferentelor triple daca sunt luate epocile succesive t₁,t₂,t₃:

Acest algoritm poate fi programat cu usurinta.

2.3 Pozitionarea statica relativa

Intr-o masuratoare statica a vectorului unei baze geodezice intre punctele A si B , cele doua receptoare trebuie sa fie montate stationar pe durata sesiunii de masuratori. Din datele de observatie se formeaza sisteme de ecuatii cu diferente simple, duble si triple care trebuie analizate din punctul de vedere al relatiei ecuatii / necunoscute. Se presupune ca din cele doua statii A si B se observa aceiasi sateliti la aceleasi epoci. Numarul de epoci este notat cu n_t iar numarul de sateliti cu n_j.

Ecuatia de faza (9) (unde ceasul satelitului este considerat cunoscut), fara a se efectua diferente, nu este avuta in vedere aici pentru ca nu asigura conectarea punctelor A si B. Cele doua seturi de date ar putea fi prelucrate separat, ceea ce ar fi echivalent cu pozitionarea absoluta a fiecaruia din cele doua capete ale bazei.

O diferenta simpla poate fi scrisa pentru fiecare epoca si pentru fiecare satelit. Numarul de masuratori este, deci, n_j n_t. Reluam ecuatia diferentei simple data de (19), scriind numarul de necunoscute sub fiecare termen al membrului drept:

(60)

Relatia ecuatii / necunoscute poate fi rescrisa separand numarul de epoci             

, (61)

in scopul de a determina numarul minim de momente de simultaneitate la care trebuie culese date de masurare. Se oserva ca un satelit nu permite determinarea pentru ca numitorul relatiei (61) devine zero. Cu doi sateliti rezulta n_t 5 si pentru cazul normal de patru sateliti (cand intregul sistem este operational) este obtinut n_t 7/3 adica,prin rotunjire in plus, n_t 3.

Pentru diferente duble, relatia intre masuratori si necunoscute este obtinuta utilizand aceeasi logica. Este de remarcat ca pentru o diferenta dubla sunt necesari doi sateliti, deci pentru n_j sateliti sunt obtinute n_j-1 diferente duble la fiecare epoca. Numarul total de diferente duble este (n_j-1)n_t. Numarul de necunoscute rezulta din (22):

(62)

de unde

. (63)

De aici, numarul minim de sateliti fiind doi, rezulta n_t=4. In cazul a patru sateliti este necesar un numar minim de doua epoci. Pentru a evita aparitia dependentei liniare intre diferentele duble formate, unul dintre sateliti este considerat ca referinta (el va fi comun in toate diferentele). Pentru exemplificare, luam cazul cand masuratorile sunt facute pe satelitii 6,9,11,12 si satelitul 6 este utilizat ca referinta. Atunci, la fiecare epoca pot fi formate urmatoarele diferente duble: (9-6), (11-6) si (12-6). Celelalte diferente duble care ar mai putea fi formate sunt combinatii liniare ale acestora trei. De exemplu, diferenta (11-9) poate fi formata prin scaderea diferentelor (11-6) si (9-6).

Modelul matematic al diferentelor triple include doar trei necunoscute (coordonatele punctului). Pentru o singura diferenta tripla sunt necesare doua epoci. In consecinta, in cazul a n_t epoci, sunt posibile n_t-1 combinatii de epoci liniar independente. Avem deci:

(64)

Relatia ecuatii / necunoscute poate fi scrisa sub forma

, (65)

ceea ce conduce la n_t 4 epoci daca dispunem de numarul strict necesar de sateliti (n_j =2). Pentru n_j =4 sateliti sunt necesare n_t 2 epoci.

2.4 Pozitionarea relativa cinematica

In pozitionarea relativa cinematica, receptorul ramine fix pe punctul A al vectorului bazei geodezice. Receptorul secund se deplaseaza, pozitia sa trebuind determinata la epoci arbitrare. Modelele pentru diferentele simpla, dubla si tripla trebuie sa contina implicit miscarea in distanta geometrica. Considerand punctul B si satelitul j , distanta geometrica in cazul static este data, conform ecuatiei (2), prin

(66)

si in cazul cinematic prin

,(67)

aici aparand dependenta de timp a coordonatelor punctului B (mobil). Evident, la fiecare epoca apar ca necunoscute trei coordonate. Deci, numarul total al coordonatelor necunoscute pentru n_t epoci este 3n_t. Relatia ecuatii / necunoscute pentru cazul cinematic deriva din modelele diferentelor simple, duble si triple, conform ecuatiilor (60), (62) si (64):

Diferente simple : n_j n_t 3n_t+ n_j + n_t

Diferente duble : (n_j - 1) n_t 3n_t +( n_j - 1)                           (68)

Diferente triple : (n_j - 1)( n_t - 1) 3n_t

Miscarea continua a receptorului mobil restrange datele disponibile pentru determinarea pozitiei sale la o singura epoca, dar nici unul din modelele de mai sus nu permite o rezolvare pentru n_t=1. Singura solutie consta in modificarea acestor modele pentru a reduce numarul necunoscutelor prin eliminarea necunoscutelor intregi. Eliminarea acestora in diferentele simple si duble ne conduce la necesarul de de sateliti de observat (n_t=1):

Diferente simple : n_j 4

Diferente duble : n_j 4 (69)

Diferentele triple pot fi utilizate numai in situatia cand coordonatele receptorului mobil sunt cunoscute la un anumit moment, numit epoca de referinta. In acest caz, relatia ecuatii / necunoscute va fi (n_j -1)( n_t -1) 3(n_t -1), care ne conduce la

Diferente triple : n_j 4 . (70)

Se observa ca toate modelele de prelucrare necesita efectuarea de observatii simultane asupra a minimum patru sateliti.

Eliminarea ambiguitatilor din diferenta simpla si diferenta dubla presupune evaluarea lor prealabila. Ecuatiile modificate sunt obtinute simplu, prin rescrierea relatiilor (60) si (62) cu ambiguitatile trecute in partea stanga. Diferenta simpla devine

(71)

iar diferenta dubla

. (72)

In membrul drept al acestor ecuatii au ramas doar necunoscutele. Pentru diferenta tripla, care are in vedere doua epoci de observatie (carora le corespund doua pozitii ale receprorului), reducerea la 3 a numarului de necunoscute presupune cunoasterea uneia din cele doua pozitii.

Rezulta ca pentru determinarea unui vector de baza din observatii executate la un singur moment de timp (caz specific metodei cinematice), pot fi aplicate diferentele simple, duble si triple, sub restrictia cunoasterii unei pozitii a receptorului mobil. De preferat (dar nu necesar), acesta va fi punctul de start al miscarii receptorului. Vectorul bazei dintre receptorul fix si punctul de start este numit vector de start si se determina in cadrul etapei de initializare a receptoarelor. Cu un vector de start cunoscut, ambiguitatile se calculeaza si apoi sunt folosite ca elemente cunoscute pentru determinarea tuturor pozitiilor receptorului mobil dar numai atat timp cat nu se pierd semnalele primite de la minimum patru sateliti vizibili in momentul initializarii.

Initializarea receptoarelor se poate face prin metode statice sau cinematice.

Initializarea statica Pentru determinarea vectorului de start sunt disponibile trei metode.

1) Receptorul mobil este plasat intr-un punct cunoscut. Utilizand coordonatele sale drept elemente cunoscute, din ecuatia diferentei duble se separa si se determina ambiguitatile, rezultand valori reale. Aceste valori sunt rotunjite la intregul cel mai apropiat si vor fi folosite in continuare in locul necunoscutelor intregi.

2) Se executa o determinare statica a vectorului de start, rezultand coordonatele punctului de start.

3) Se aplica metoda schimbarii antenei , care presupune amplasarea punctului de start (B) in imediata apropiere a punctului de referinta (A). Se parcurg urmatoarele etape:

- se amplaseaza antena receptorului fix in A, cea a receptorului mobil in B si se executa cateva masuratori;

- fara a intrerupe receptia, cele doua antene sunt mutate fiecare in locul celeilalte;

- se executa cateva masuratori in noua pozitie a antenelor.

Algoritmul prezentat asigura determinarea vectorului de start intr-un timp foarte scurt (aproximativ 30 secunde).

Initializarea cinematica Tehnicile prezentate mai sus presupun ca pentru initializare sa fie efectuate masuratori statice cu receporul care va fi mobil in timpul determinarilor propriu-zise. Unele aplicatii speciale necesita pozitionare cinematica GPS cu receptorul mobil permanent in miscare (de exemplu amplasat pe un avion care zboara). Tehnica ce permite initializarea intr-o asemenea situatie este numita OTF ('on-the-fly'). Evident si in acest caz este nevoie de o ambiguitate (instantanee) si o pozitionare (instantanee). Problema cea mai dificila consta in gasirea pozitiei cat mai repede si cat mai precis posibil. Acest lucru este realizat printr-o aproximare initiala a pozitiei si apoi imbunatatirea ei prin metoda celor mai mici patrate sau prin tehnica de cautare descrisa in capitolul 9.1.3.

Exista mai multe posibilitati de rezolvare, dintre care aici este prezentat cel propus de Remondi.

Conform (62), pentru cele doua receptoare plasate in A si B, doi datelisi j si k si epoca t, ecuatia diferentei duble este:

. (73)

Avand in vedere ca ne propunem o pozitionare GPS cinematica, ecuatia trebuie usor reformulata pentru a descrie miscarea unuia dintre receptoare. Deci, receptoarele vor fi notate cu 1 si 2 in acei termeni care sunt pur dependenti de pozitia lor instantanee. Relatia

(74)

arata ca fazele masurate si ambiguitatile sunt dependente de pozitiile receptoarelor pe cata vreme distantele depind de amplasarea statiilor A si B. Acest lucru este adevarat la momentul t, dar pentru o alta epoca t_i receptorul 1 ramane stationar in amplasamentul de referinta A pe cand receptorul 2 se misca si va ocupa pozitia C . Ecuatia diferentei duble va fi:

. (75)

Intr-un mediu neperturbat, ambiguitatile sunt independente de timp si astfel nu se schimba pe durata observatiilor. Spre deosebire de initializarea statica pe baza unui vector de start cunoscut, aici pozitia punctului de start B este necunoscuta. Deci, pentru B trebuie calculata o valoare aproximativa ce va fi imbunatatita prin tehnica de cautare. Valoarea aproximativa ar putea fi pozitia absoluta determinata pe baza cod-distantelor.

In conformitate cu ecuatia (6.25), cod-distanta la epoca initiala t poate fi calculata din cod-distanta la momentul t_i prin scaderea diferentei de faza a purtatoarei, masurata intre aceste epoci. Avem deci

, (76)

unde  reprezinta termenul de zgomot. Aceasta ecuatie poate fi interpretata ca o raportare a epocii t_i la epoca t si permite o imbunatatire (netezire) a cod-distantei initiale. Cu ajutorul unor astfel de cod-distante netezite pentru cel putin j=4 sateliti, pozitia punctului B este calculata conform celor prezentate in capitolul 1.1. Dupa aceea, este initializata o tehnica de cautare cu observatii Doppler, pentru a imbunatati pozitia punctului B si a determina cat mai precis ambiguitatile intregi care intervin in relatia (74). Ambiguitatile intregi sunt apoi inlocuite in (75) si permit calculul pozitiei C ocupata de receptorul mobil la epoca t_i.

2.5 Pozitionarea relativa combinata

Combinarea static-cinematic are drept efect miscarea intermitenta. Receptorul mobil se opreste in fiecare punct de interes, pentru a fi masurat. De aceea, in general exista masuratori pentru mai mult decat o epoca in fiecare punct de determinat. Traiectoria intre punctele de oprire nu prezinta interes pentru topografi si la datele respective se poate renunta daca datele care raman nu sunt eronate. Cu toate acestea, operarea receptoarelor pe timpul deplasarilor nu trebuie sa fie intrerupta; altfel trebuie realizata o noua initializare (determinarea unui nou vector de start). Avantajul acestei metode consta in scurtarea considerabila a timpului de stationare. Dezavantajul decurge din necesitatea mentinerii permanente a contactului cu satelitii urmariti la initializare.

Pozitionarea relativa pseudocinematica necesita ca fiecare punct sa fie restationat pentru a fi masurat precis. Nu este necesar ca receptorul sa se mentina deschis in intervalul de timp dintre cele doua stationari.

Observatiile pseudocinematice sunt procesate in acelasi fel ca si cele statice. Ele pot fi privite ca observatii statice cu un interval larg de culegere a datelor. Modelul matematic pentru diferenta dubla corespunde ecuatiei (62), dar este nevoie sa se determine doua seturi de ambiguitati, corespunzatoare celor doua stationari.

Prelucrarea poate incepe cu rezolvarea cu diferente triple, pentru ambele stationari. Pe baza acestei solutii este realizata conectarea intre cele doua seturi de ambiguitati. Aceasta tehnica va fi folosita doar in cazul cand solutia cu diferente triple este suficient de buna (circa 30 cm). Dupa conectarea cu succes a ambiguitatilor este permisa rezolvarea normala, cu diferente duble.

Timpul scurs intre cele doua stationari ale aceluiasi punct este un factor important ce afecteaza precizia determinarii (datorita modificarii configuratiei figurii sateliti-receptor. In general, conform unor experimente practice, intervalul de timp trebuie sa fie de circa o ora.