Metoda potentialelor nodale

Metoda potentialelor nodale

Pentru studiul circuitelor prin metoda potentialelor nodale consideram exemplul anterior,cu aceleasi date, parcurgand urmatoarele etape:

- se alege un nod de referinta – simbolizat prin legare la pamant – a carui potential se considera nul, iar restul nodurilor se numeroteaza; aici se observa ca cel mai convenabil este nodul 0.- se introduc potentialele nodurilor in raport cu nodul de referinta V₁, V₂, V₃, V₄ – acestea fiind potentialele nodale si reprezinta necunoscutele sistemului.

Pentru determinarea potentialelor nodale trebuie alcatuit si rezolvat sistemul urmator de ecuatii:

G₁₁ V₁ – G₁₂ V₂ - . - G_1n V_n = aE G(1)

-G₂₁ V₁ + G₂₂ V₂ - . - G_2n V_n = aE G(2)

. . . . . . . . . . . . . . . . .

-G_n1 V₁ – G_n2 V₂ - . + G_nn V_n = aE G(n)

Fiecare ecuatie corespunde unui nod. In general nr. de ecuatii n = p –1, unde p este numarul de noduri ale circuitului.Se observa ca diagonala principala a matricei sistemului, alcatuita din coeficientii necunoscutelor, este pozitiva, iar restul termenilor sunt negativi.

G₁₁ = S – reprezinta conductanta totala a laturilor legate la nodul (1), sau suma conductantelor laturilor legate la nodul (1).

G₂₂ = S suma conductantelor laturilor legate la nodul (2).

G₃₃ = S suma conductantelor laturilor legate la nodul (3).

G₄₄ = S suma conductantelor laturilor legate la nodul (4).

G₁₂ = G₂₁ = S suma conductantelor laturilor care leaga direct nodul (1) cu nodul (2).

G₁₄ = G₄₁ = S suma conductantelor laturilor care leaga direct nodul (1) cu nodul (4).

G₂₃ = G₃₂ = S suma conductantelor laturilor care leaga direct nodul (2) cu nodul (3).

G₃₄ = G₄₃ = S suma conductantelor laturilor care leaga direct nodul (3) cu nodul (4).

G₁₃ = G₃₁ = G₂₄ = G₄₂=0 deoarece intre nodurile 1 si 3 respectiv 2 si 4 nu exista legatura directa

In membrul drept al ecuatiilor apar sume ale produselor E G, pentru laturile care se intalnesc in modul a carui ecuatie se scrie. Aceste sume se pot scrie si ca sume de rapoarte intre tensiunea electromotoare E si rezistenta R a laturii respective. Aceste rapoarte sunt de fapt curentii de scurtcircuit ai laturilor si anume daca latura (1) o deconectam din schema si o punem in scurtcircuit atunci curentul prin aceasta latura va fi: E₁/R₁ = E₁ G₁.

aE G pentru nodul (1) reprezinta suma algebrica a curentilor de scurtcircuit ai laturilor ce se intalnesc in nodul (1). In acesta suma, termenii laturilor pentru care sursele sunt orientate cu borna pozitiva spre nod sunt pozitivi, iar ceilalti sunt negativi; prin urmare avem:

aE G(1) = =18;      aE G(2) = ;    aE G(3) = ;

aE G(4) = ;

Inlocuind valorile obtinute mai inainte, se obtine sistemul:

V₁ – V₂ – V₄ = 18

V₁ + V₂ – V₃ =

V₂ + V₃ – V₄=

V₁ – V₃ + V₄ =

In urma rezolvarii acestui sistem, se obtin urmatoarele solutii:

V₁ = 30 V; V₂ = 50 V; V₃ = -80 V; V₄ = -60 V.

Se determina curentii din fiecare latura, aplicand legea lui Ohm, astfel:

- pentru latura 1 avem: E₁ + (V₁ – V₂) = R₁ I₁ > I₁ = = 3 A;

- pentru latura 2 avem: E₂ - (V₂ – V₃) = - R₂ I₂ > I₂ = = 2 A;

- pentru latura 3 avem: E₃ - (V₄ – V₃) = R₃ I₃ > I₃ = = 1 A.

- pentru latura 4 avem: E₄ + (V₄ – V₁) = R₄ I₄ > I₄ = = 4 A;

- pentru latura 5 avem: E₅ + V₃ = R₅ I₅ > I₅ = = -3 A

- pentru latura 6 avem: V₄ = -R₆ I₆ > I₆ = = 3 A;

- pentru latura 7 avem: V₁ = R₇ I₇  > I₇ = = 1 A;

- pentru latura 8 avem: V₂ = - R₈ I₈ > I₈ = = - 5 A;